专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值
【题型综述】
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。
【典例指引】
例1 己知函数f?x??ex?ax?b??exlnx.
（1）若函数f?x?在x?1处取得极值，且b?1，求a；
（2）若b??a，且函数f?x?在?1,???上单调递増，求a的取值范围.
ax2?x?11法二（直接化为最值＋分类讨论）：令g?x??ax?lnx?，g??x??.令2xxh?x??ax2?x?1?x?1?，
①当 a?0时，h(x)??x?1?0，所以g??x??0，即g?x?在?1,???上单调递减.而g?1??a?1??1?0，与g?x??0在x??1,???上恒成立相矛盾.
②当a?0时，则开口向上
(方案一）：Ⅰ.若 ??1?4a?0，即a?min1时，h(x)?0,即g??x??0,x??1,???，所以g?x?在4?1,???上递增，所以g?x??g?1??a?1?0，即a?1.
Ⅱ.若??0，即0?a?1时，此时g?1??a?1?0，不合题意. 4
法三（缩小范围＋证明不等式）：令g?x??ax?lnx?1，则g?1??0?a?1?0?a?1. x11ax2?x?1另一方面，当a?1时，则有g??x??a??2?，令h(x)?ax2?x? 1，开口向上，2xxx1?1???0,，故h?x?在?1,???上为增函数，所以对称轴x?2a?2??h?x??h?1??a?0?g??x??0?g?x?在?1,???上为增函数，则g?x??g?1??a?1?0，故
a?1适合题意.
例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数f?x???x?1?lnx?a?x?1?. （Ⅰ）当a?4时，求曲线y?f?x?在?1,f?1??处的切线方程； （Ⅱ）若当x??1,???时，f?x??0，求a的取值范围.
法二（直接化为最值）：f?x???x?1?lnx?a?x?1??0在?1,???恒成立，则
f??x??lnx?f???x??x?1?a (导函数为超越函数）；x11x?11?2?2?0?f??x??lnx??1?a在?1,???为增函数，则xxxxf??x??f??1??2?a（1）当2?a?0即a?2时，则f??x??f??x??2?a?0(当且仅当
x?1,a?2时，取“?”)，故f?x?在?1,???为增函数，则有f?x??f?1??0，故f?x???x?1?lnx?a?x?1??0在?1,???恒成立，故a?2适合题意.
（2）当 且f?ea?1?e?a?0，故f??x??02?a?0即a?2 时，则f?(x)?f??1??2?a?0，在?1,???有唯一实根x0，则f?x?在?1,x0?为减函数，在?x0,???增函数，又有f?1??0，则存在x0??1,???,使得f?x0??0，故a?2不适合题意.综上，实数a的取值范围为a?2.
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高考数学玩转压轴题专题2_11已知不等恒成立,分离参数定最值1
