、 力学常见模型归纳 一．斜面问题
在每年各地的高考卷中几乎都有关于斜面模型的试题．在前面的复习中，我们对这一模型的例举和训练也比较多，遇到这类问题时，以下结论可以帮助大家更好、更快地理清解题思路和选择解题方法．
1．自由释放的滑块能在斜面上(如图9－1 甲所示)匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gtan θ．
2．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1 甲所示)：
(1)静止或匀速下滑时，斜面M对水平地面的静摩擦力为零； (2)加速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向右； (3)减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左． 3．自由释放的滑块在斜面上(如图9－1乙所示)匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力，(在m停止前)M对水平地面的静摩擦力依然为零(见一轮书中的方法概述)．
4．悬挂有物体的小车在斜面上滑行(如图9－2所示)：
(1)向下的加速度a＝gsin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面；
(2)向下的加速度a＞gsin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上； (3)向下的加速度a＜gsin θ时，悬绳将偏离垂直方向向下．
5．在倾角为θ的斜面上以速度v0平抛一小球(如图9－3所示)：
2v0tan θ
(1)落到斜面上的时间t＝；
g
(2)落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角α恒定，且tan α＝2tan θ，与初速度
无关；
v0tan θ(v0sin θ)2
(3)经过tc＝ 小球距斜面最远，最大距离d＝．
g2gcos θ
6．如图9－4所示，当整体有向右的加速度a＝gtan θ时，m能在斜面上保持相对静止．
7．在如图9－5所示的物理模型中，当回路的总电阻恒定、导轨
mgRsin θ
光滑时，ab棒所能达到的稳定速度vm＝．
B2L2
8．如图9－6所示，当各接触面均光滑时，在小球从斜面顶端滑下的过程中，斜面后退的位移s＝
m
L． m＋M
●例1 有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断．例如从解的物理量单位，解随某些已知量变化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从而判断解的合理性或正确性． 举例如下：如图9－7甲所示，质量为M、倾角为θ的滑块A放于水平地面上．把质量为M＋m
m的滑块B放在A的斜面上．忽略一切摩擦，有人求得B相对地面的加速度a＝
M＋msin2 θgsin θ，式中g为重力加速度．
对于上述解，某同学首先分析了等号右侧的量的单位，没发现问题．他
进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”．但
是，其中有一项是错误的，请你指出该项( )
A．当θ＝0°时，该解给出a＝0，这符合常识，说明该解可能是对的
B．当θ＝90°时，该解给出a＝g，这符合实验结论，说明该解可能是对的
C．当M?m时，该解给出a≈gsin θ，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 D．当m?M时，该解给出a≈
g
，这符合预期的结果，说明该解可能是对的 sin θ
【解析】当A固定时，很容易得出a＝gsin θ；当A置于光滑的水平面时，B加速下滑的同时A向左加速运动，B不会沿斜面方向下滑，难以求出运动的加速度．
设滑块A的底边长为L，当B滑下时A向左移动的距离为x，由动量守恒定律得： xL－xM＝m tt解得：x＝
mL
M＋m
g
＞g显然不可能． sin θ
当m?M时，x≈L，即B水平方向的位移趋于零，B趋于自由落体运动且加速度a≈g． 选项D中，当m?M时，a≈
D
【点评】本例中，若m、M、θ、L有具体数值，可假设B下滑至底端时速度v1的水平、竖直分量分别为v1x、v1y，则有： v1yh(M＋m)h
＝＝ v1xL－xML111
mv1x2＋mv1y2＋Mv22＝mgh 222
mv1x＝Mv2
解方程组即可得v1x、v1y、v1以及v1的方向和m下滑过程中相对地面的加速度．
●例2 在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，其方向一个垂直于斜面向上，一个垂直于斜面向下(如图9－8甲所示)，它们的宽度均为L．一个质量为m、边长也为L的正方形线框以速度v进入上部磁场时，恰好做匀速运动．
(1)当ab边刚越过边界ff′时，线框的加速度为多大，方向如何？
(2)当ab边到达gg′与ff′的正中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则线框从开始进入上部磁场到ab边到达gg′与ff′的正中间位置的过程中，线框中产生的焦耳热为多少？(线框的ab边在运动过程中始终与磁场边界平行，不计摩擦阻力)
【解析】(1)当线框的ab边从高处刚进入上部磁场(如图9－8 乙中的位置①所示)时，线框恰好做匀速运动，则有： mgsin θ＝BI1L BLv
此时I1＝
R
当线框的ab边刚好越过边界ff′(如图9－8乙中的位置②所示)时，由于线框从位置①到位置②始终做匀速运动，此时将ab边与cd边切割磁感线所产生的感应电动势同向叠加，回路中电流的大小等于2I1．故线框的加速度大小为：
4BI1L－mgsin θa＝＝3gsin θ，方向沿斜面向上．
m
(2)而当线框的ab边到达gg′与ff′的正中间位置(如图9－8 乙中的位置③所示)时，线框又恰好做匀速运动，说明mgsin θ＝4BI2L 1
故I2＝I1
4
BLv1
由I1＝可知，此时v′＝v
R4
3
从位置①到位置③，线框的重力势能减少了mgLsin θ
211v15
动能减少了mv2－m()2＝mv2
22432
由于线框减少的机械能全部经电能转化为焦耳热，因此有： 315
Q＝mgLsin θ＋mv2． 232 (1)3gsin θ，方向沿斜面向上 315(2)mgLsin θ＋mv2 232
【点评】导线在恒力作用下做切割磁感线运动是高中物理中一类常见题型，需要熟练掌握各种情况下求平衡速度的方法． 二、叠加体模型
叠加体模型在历年的高考中频繁出现，一般需求解它们之间的摩擦力、相对滑动路程、摩擦生热、多次作用后的速度变化等，另外广义的叠加体模型可以有许多变化，涉及的问题更多． 叠加体模型有较多的变化，解题时往往需要进行综合分析(前面相关例题、练习较多)，下列两个典型的情境和结论需要熟记和灵活运用．
1．叠放的长方体物块A、B在光滑的水平面上匀速运动或在光滑的斜面上自由释放后变速运动的过程中(如图9－9所示)，A、B之间无摩擦力作用．
2．如图9－10所示，一对滑动摩擦力做的总功一定为负值，其绝对值等于摩擦力乘以相对滑动的总路程或等于摩擦产生的热量，与单个物体的位移无关，即Q摩＝f·s相．
●例3 质量为M的均匀木块静止在光滑的水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪和子弹的射击手．首先左侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图9－11所示．设子弹均未射穿木块，且两子弹与木块之间的作用力大小均相同．当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法正确的是(注：属于选修3－5模块)( )
A．最终木块静止，d1＝d2 B．最终木块向右运动，d1
解得：v＝0，即最终木块静止
设左侧子弹射入木块后的共同速度为v1，有： mv0＝(m＋M)v1
11
Q1＝f·d1＝mv02－(m＋M)v12
22解得：d1＝
mMv02
2(m＋M)f
对右侧子弹射入的过程，由功能原理得： 11
Q2＝f·d2＝mv02＋(m＋M)v12－0
22
力学常见模型归纳
