1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选(x－1)＝0，解得x＝2，
∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，故选C.
x2．根据表格中的数据，可以判断方程e－x－2＝0必有一个根在区间( )
x －1 0 1 2 3 xe 1 x＋2 1 2 3 4 5 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
x解析：选C.设f(x)＝e－x－2，∵f(1)＝－3＝－＜0，f(2)＝－4＝＞0.∴f(1)f(2)＜
x0，由根的存在性定理知，方程e－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.
2??x＋2x－3，x≤0
3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝?的零点个数为( )
?－2＋lnx，x＞0?
A．0 B．1 C．2 D．3
2
解析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0
2
时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.
2
4．已知函数f(x)＝x－1，则函数f(x－1)的零点是________．
2222
解析：由f(x)＝x－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)－1＝x－2x，∴由x－2x＝0.解得x1
＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.
答案：0和2
2
1．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx－ax的零点是( )
1
A．0,2 B．0，－
2
11C．0， D．2，
22解析：选B.由题意知2a＋b＝0，
2
∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax－ax＝－ax(2x＋1)，
1
使g(x)＝0，则x＝0或－.
22
2．若函数f(x)＝x＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
2
3．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是( )
xA．(1,2) C．(3,4)
B．(2,3) D．(e,3)
2
解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，
3
∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )
12
A．y＝x－ B．y＝2x－x－1
x??x＋1 C．y＝?
?x－1 ?
x≤0x＞0
??x＋1
D．y＝?
?x－1 ?
x≥0x＜0
1
解析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为1，－1；B中函数的零点为－，1；
2
只有D中函数无零点．
2
5．函数y＝loga(x＋1)＋x－2(0＜a＜1)的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无法确定新 课 标 第 一 网
2
解析：选C.令loga(x＋1)＋x－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查
2
图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x＋2的交点个数．
1x－23
6．设函数y＝x与y＝()的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
2
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
1x－23
解析：选B.设f(x)＝x－()，
2
1－211
则f(0)＝0－()<0；f(1)＝1－()－1<0；f(2)＝23－()0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)
222
上．
2
7．函数f(x)＝ax＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f(x)＝0的另一根为x，
2a由根与系数的关系，得1＋x＝－＝－2，
a故x＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3
8．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，
???5a－1≥0?5a－1≤0，1所以?或?解得a≥或a≤－1.
5?a＋1≥0?a＋1≤0，??
1
答案：a≥或a≤－1. X k b 1 . c o m
5
9．下列说法正确的有________：
2
①对于函数f(x)＝x＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点．
x2
②函数f(x)＝2－x有两个零点．
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
2
④当a＝1时，函数f(x)＝|x－2x|－a有三个零点． 解析：①错，如图．
②错，应有三个零点．
③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
22
④设u(x)＝|x－2x|＝|(x－1)－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.
答案：③④
2
10．若方程x－2ax＋a＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．
2
解：设f(x)＝x－2ax＋a.
由题意知：f(0)·f(1)＜0，
即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
??a＞0，?
?1－a＜0，?
??a＜0，
或?
?1－a＞0，?
w w w .x k b o m
∴a＜0或a＞1.
12
11．判断方程log2x＋x＝0在区间[，1]内有没有实数根？为什么？
2
2
解：设f(x)＝log2x＋x，
111213
∵f()＝log2＋()＝－1＋＝－＜0，
22244
11
f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f()·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间[，1]
22112
上是连续的，因此，f(x)在区间[，1]内有零点，即方程log2x＋x＝0在区间[，1]内有实
22
根．
2
12．已知关于x的方程ax－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时， (1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；
(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，
a－1??＜0a所以由根与系数的关系得???Δ＝12a＋4＞0
，
解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．
2
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如图(1)(2)所示，新课标第一网
??Δ＞0
所以必须满足?a＋1
＞1a??f1＞0
a＞0
??Δ＞0
，或?a＋1
＞1a??f1＜0
a＜0
.
，不等式组无解．
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0， ?x2－1＞0?x1－1即? ?x1－1＋x2－1＞0???
?x1x2－?
x1＋x2＋1＞0
??x1＋x2＞2
a－12??a－所以?2a＋1
??aa＋1
＋1＞0a＞2
??a＜0??
?a＞0?
，不等式组无解．
即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.
2
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y＝ax－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如
图(3)(4)所示，
??a＞0
所以必须满足?
??f1
，解得a＞0.
＜0＞0
∴即当a＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.
??a＜0或???f1
方程的根与函数的零点练习题及答案解析
