201４年全国高中数学联赛（B卷)
一 试
一、填空题(每小题8分,共64分，) 1.
函数
f(x)?x?5?24?3x的值域是 .
2. 已知函数双曲线xy?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是
2 ．
3.
?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点(纵横坐标均为整数的点）的个数
是 .
4.
已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常
. 数?,?使得对每一个正整数n都有an?log?bn??,则???? 5. 函数
f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值
是 .
6.
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获
胜概率是 .
7.
正三棱柱
.
ABC?A1B1C1的
9条棱长都相等，
P是CC1的中点，二面角B?A1P?B1??,则
sin??
8.
方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y，z）的个数是
.
二、解答题(本题满分５６分） 9. （16分）已知函数
f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0),当0?x?1时，f?(x)?1,试求a的最大值． y2?6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1?x2且x1?x2?4.线段AB1０.(20分)已知抛物线
的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值．
11．（2０分)证明:方程
2x3?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得
2?ra1?ra2?ra3??. 5
解 答
1. [?3,3] 提示：易知f(x)的定义域是?5,8?，且f(x)在?5,8?上是增函数，从而可知f(x)的值域为
[?3,3].
２. ?3?a?12 2 提示：令sinx?t，则原函数化为g(t)?(?at2?a?3)t，即
g(t)??at3?(a?3)t.
由
?at3?(a?3)t??3,?at(t2?1)?3(t?1)?0,(t?1)(?at(t?1)?3)?0 及t?1?0即
知
?at(t?1)?3?0
a(t2?t)??3. （１）
当t对0?0,?1时（１)总成立；
?t?1,0?t2?t?2；对?1?t?0,?13?t2?t?0.从而可知 ??a?12. 42y?k(k?1,2,?,99)与双曲线右半支于Ak，交直
３. ９800 提示:由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况,设
线
x?100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99?k,从而在x轴上方区域内部整点的个数为
?(99?k)?99?49?4851．
k?199又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为2?4851?98?9800. 4. 33?3 提示 ：设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则
3?d?q,
（1）
3(3?4d)?q2, （2）
（1)代入(2）得9?12d从而有3??d2?6d?9，求得d?6,q?9．
对一切正整数
6(n?1)?log?9n?1?? 对一切正整数n都成立,即6n?3?(n?1)log?9??n都成立.
从而
log?9?6,?3??log?9??,
求得 ??33,??3，????33?3.
5．
?1 4 提示:令ax3?y,则原函数化为g(y)?y2?3y?2，g(y)在(?,+?)上是递增的.
2当0?a?1时，y?[a,a?1]，
g(y)max?a?2?3a?1?2?8?a?1?2?a?1, 2所以
111g(y)min?()2?3??2??;
224当
a?1时,y?[a?1,a]，
g(y)max?a2?3a?2?8?a?2,
所以
g(y)min?2?2?3?2?1?2??综上
1． 4f(x)在x?[?1,1]上的最小值为?1. 46.
12217 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于６的概率为?,从而先投掷人的获胜概率为 173612757577112. ?()2??()4??????25171212121212121?144104 提示：解法一:如图，以
７． AB所在直线为x轴,线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间
A1(?1,0,2),P(0,3,1)，从而，
直角坐标系.设正三棱柱的棱长为２，则B(1,0,0),B1(1,0,2),BA1?(?2,0,2),BP?(?1,3,1),B1A1?(?2,0,0),B1P?(?1,3,?1)．
设分别与平面
BA1P、平面
B1A1P垂直的向量是
zA1C1m?(x1,y1,z1)、n?(x2,y2,z2)，则
??m?BA1??2x1?2z1?0, ???m?BP??x1?3y1?z1?0,??n?B1A1??2x2?0, ???n?B1P??x2?3y2?z2?0,由此可设
B1PAOC，所以
ym?(1,0,1),n?(0,1,3)，即
Bxm?n?m?ncos?A13?2?2cos??cos??10所以 sin??464.
C1EB1OAP.
CB
2014年全国高中数学联赛试题及标准答案
