以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
??mvAy?lco?s? Jlsinlc??os?vmByl?c?osvm0l ? s i n （4） 因为
连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vB x （5）
vCysin??vvAxco?s?vBysi?n?vBxc? o s （6） （7）
Aysi?n??vCys? i n
（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
co?s?sin??2co?s1?3co?ssin?1?3cos?2解以上各式得 J?mv0(1?2c2o?s（10 )）vAx?v0sin? （11）vAy?v0sin?cos? （12）
22 （8） （9）
2 vBx?vsin? （13）vBy?0 （14）vCy??v0sin?cos? （15）0按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系
统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?vPy?mvAx?mvBx?mvCx3mmvAy?mvBy?mvCy3m?23v0sin?2 （16）
?0 （17）
这时系统质心的坐标为 xP??lco?s （18）yP??lsin? （19）
31不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度vBPx?vBx?vPx?13v0sin?2y （20）vBPy?0 A
O P B x （21） 可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度??vBPxyP?v0sin?l （22）
若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示.
1系统绕质心转过π/2所需时间
t?2π?（23）
C 图2
在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
?x?vPxt （24） 若 yP??x?xP （25）则球B先于球A与挡板碰撞. 由以上有关
3各式得 ??arctan1?? （26）即 ??36? (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分. 四、
参考解答：
1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容Ct1满足下式式中C?S4?kd1Ct1?n2C （1）即 Ct1?2Cn （2）
（3）
1Ct211?1??2????????
4C8C?2C?虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2满足下式即 Ct2?C2 （4）
（5）
Ct1Ct2Ct1?Ct2?2Cn?4整个电容网络的等效电容为Ct? （6）
等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）
qt?Ct??1?Ct1n?12C23CS?(n?4)2?kd （7）
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效电
?满足下式 容Ct1??（8）
??由此得 Ct16C3n?1 （9）
?Ct2Ct1??Ct2Ct1?6C3n?13整个电容网络的等效电容为Ct??（10）
3S?(3n?13)2?kd整个电容网络的等效电容器带的电荷量为 qt??Ct??? （11）
在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变为 ?qt?qt??qt??电容器储能变化为 ?U?12S?(3n?13)(n?4)2?kd?Ct?2 （12）
S?2?C??t2???2(3n?13)(n?4)2?kdS?2 （13） （14）
在此过程中，电池所做的功为 A??qt???外力所做的功为 A???U?A?S?2(3n?13)(n?4)2?kdk4d)22(n3?1n?3)(? （15）
2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧
带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
q??C?q?S4?kx?(q??Q)S4?k(2d?x)d （16）
由（2）式和上式得 q??q???3q??Q2d?x （17）
上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.
整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
q??q??ct2?(n?1)q??q??2C?q??C?? （18）
将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量 q??S?(3n?13)2?kd?(n?5)(2d?x)(3n?13)dQ （19）
评分标准：
本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分.
第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分.
五、
参考解答:
如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度v水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为??BLv（1）
式中L为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有L?2R122a c l1 I1 l2 I I2 d b 图 1 ?R???1??2R1 （2） ?100?在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度L可视为不变，近似为2R1.将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为??2BR1v （3） 以I、I1和I2分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，
方向如图1所示，以Uab表示a、b两端的电压，由欧姆定律有Uab?I1l1r0 （4）Uab?I2l2r0 （5） 式中，l1和l2分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，l1和l2中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为 B1?kmI1l1R12 （6） B2?kmI2l2R12 （7）
B1方向竖直向上，B2方向竖直向下.
由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为 B0?B2?B1?0 （8）
无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场.
在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为 B3?km方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流 I?R?2IR1100 （9）
?R左R右R左?R右（10）
Ra I1 左 I Rab b ε I2 R右 其中R为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R左和R右分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故
Rab?2R1r,1左 r （11） R=右R??R1利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得B3?800kmvBR1(4r1??r0) （12）
图 2 由于小圆环半径R2??R1，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为?ab??R22B3 （13） 当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为 ?cd??R2(?B)3 （14） 2在长直金属杆以速度v从ab移动到cd的时间间隔?t内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的改
2变为 ????cd??a??2?RB2 3 （15） b由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为 ?i??在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为 Ii????t?i?2?R2B3?tR2B3r0?t2（16）
2?R2r0? （17）
于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔?t内通过小环导线横截面的电荷量为 Q?Ii?t?评分标准：
本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分， （8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3分.
六、
参考解答：
设重新关闭阀门后容器A中气体的摩尔数为n1，B中气体的摩尔数为n2，则气体总摩尔数为 n?n1?n2 （1）
把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A中气体温度为T1?，B中气体温度为T2，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变化可表示为
?U?n1C?T1??T1??n2C?T2?T1? （2）
由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有
R2B3r0?800kmvBR2R1r0(4r1??r0) （18）
?U?0 （3）
令V1表示容器A的体积, 初始时A中气体的压强为p1，关闭阀门后A中气体压强为?p1，由理想气体状态方程可知n?p1V1RT1（4）n1?(?p1)V1RT1? （5）
1???T1T1?由以上各式可解得T2??
T1???T1由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热过程，
C?RC?R设这部分气体初始时体积为V10(压强为p1时)，则有p1V10Cp1VT1(?p1)V1T1??(?p1)V1C （6）
利用状态方程可得
10? （7）
由（1）至（7）式得，阀门重新关闭后容器B中气体质量与气体总质量之比
RCn2n?2??C?R??C?RR （8）
2????C?R评分标准：
本题15分. （1）式1分，（2）式3分，（3）式2分，（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）式1分，（8）式3分.
七、
答案与评分标准：
1. 19.2 (4分，填19.0至19.4的，都给4分)
10.2 (4分，填10.0至10.4的，都给4分)
2. 20.3 (4分，填20.1至20.5的，都给4分)
4.2 (4分，填4.0至4.4的，都给4分) 八、
参考解答：
在相对于正离子静止的参考系S中，导线中的正离子不动，导电电子以速度v0向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系S?中，导线中导电电子不动，正离子以速度v0向上匀速运动.下面分四步进行分析.
第一步，在参考系S?中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S系中一些正离子所占据的长度为l，则在S?系中这些正离子所占据的长度变
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 - 图文
