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2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
0，1?，B??x|?1?x?1?，则AIB?（ ） （1）【2013年北京，文1，5分】已知集合A???1，0? （C）?0，1? （D）??1，0，1? （A）{0} （B）??1，【答案】B
【解析】{?1,0,1}I{x|?1?x?1}＝{?1,0}，故选B． （2）【2013年北京，文2，5分】设a，b，c?R，且a?b，则（ ）
11
（A）ac?bc （B）? （C）a2?b2 （D）a3?b3
ab
【答案】D 【解析】：A选项中若c小于等于0则不成立，B选项中若a为正数b为负数则不成立，C选项中若a，b均为负
数则不成立，故选D．
（3）【2013年北京，文3，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,??)上单调递减的是（ ）
1（A）y?（B）y?e?x（C）y??x2?1（D）y?lgx
x
【答案】C
【解析】A选项为奇函数，B选项为非奇非偶函数，D选项虽为偶函数但在(0，??)上是增函数，故选C． （4）【2013年北京，文4，5分】在复平面内，复数i(2?i)对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】A
【解析】i(2?i)?1?2i，其在复平面上的对应点为?1,2?，该点位于第一象限，故选A．
1（5）【2013年北京，文5，5分】在?ABC中，a?3，b?5，sinA?，则sinB?（ ）
3155 （A） （B） （C） （D）1
359【答案】B
abb515【解析】根据正弦定理，，则sinB?sinA???，故选B． ?sinAsinBa339（6）【2013年北京，文6，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
213610（A）1 （B） （C） （D）
398721【答案】C
213【解析】依次执行的循环为S?1，i?0；S?，i?1；S?，i?2，故选C．
3212y（7）【2013年北京，文7，5分】双曲线x2??1的离心率大于2的充分必要条件是（ ）
m1（A）m? （B）m?1 （C）m?1 （D）m?2
2【答案】C
1?m【解析】该双曲线离心率e?，由已知1?m>2，故m?1，故选C．
1（8）【2013年北京，文8，5分】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分
点，则P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
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【答案】B
D1(0,0,a)，C1(0,a,a)，【解析】设正方体的棱长为a．建立空间直角坐标系，如图所示．则D?0,0,0?，
?221?C(0,a,0)，B(a,a,0)，B1(a,a,a)，A?a,0,0?，A1(a,0,a)，P?a,a,a?，则
?333?uuuruuur1212123424212PB?a?a?a?a，PD?a?a?a?a，
9993999uuuur42424223421242PD1?a?a?a?a，PC1?PA1?a?a?a?a，
9993999uuur42121261212426，故共有4个不同取值，故选B． PC?PA?a?a?a?aPB1?a?a?a?a，
99939993第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．
（9）【2013年北京，文9，5分】若抛物线y2?2px的焦点坐标为(1,0)，则p? ，准线方程为 ． 【答案】2；?1
pp【解析】根据抛物线定义?1，∴p?2，又准线方程为x????1．
22（10）【2013年北京，文10，5分】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ． 【答案】3
【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式
1V??3?3?1?3，故该棱锥的体积为3．
3（11）【2013年北京，文11，5分】若等比数列?an?满足a2?a4?20，a3?a5?40，则公比q? ；前n项
和Sn? ． 【答案】2；2n?1?2
a3?a5402?1?2n?22【解析】由题意知q?由a2?a4?a2(1?q)?a1q(1?q)?20，∴a1?2．∴Sn? ??2．?2n?1?2．
a2?a4201?2?x?0?（12）【2013年北京，文12，5分】设D为不等式组?2x?y?0所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之
?x?y?3?0?间的距离的最小值为 ． 25【答案】
5【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知?1,0?到D的距离最小值为?1,0?
到直线2x-y=0的距离|2?1?0|5?25． 5?log1x,????x?1?（13）【2013年北京，文13，5分】函数f(x)??2的值域为_______．
x??2,??????????x?1【答案】(??，2)
【解析】当x?1时，log1x?log11，即log1x?0，当x?1时，0?2x?21，即0?2x?2；故f?x?的值域为(??，2)． uuuruuuruuur（14）【2013年北京，文14，5分】向量A(1,?1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D由所有满足AP??AB??AC（1???2，0???1）的点P组成，则D的面积为 ． 【答案】3
uuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】AP??AB??AC，AB??2,1?，AC??1,2?．设P(x，y)，则AP??x?1,y?1?．
222。 2欢迎下载
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2x?y?3????x?1?2?????6?2x?y?9?3∴?得?,∵1???2，0???1，可得?，如图．
y?1???2?0?x?2y?32y?x?3??????3?可得A1?3,0?，B1?4,2?，C1?6,3?，A1B1??4?3?2?22?5，
52?1三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
1（15）【2013年北京，文15，13分】已知函数f(x)?(2cos2x?1)sin2x?cos4x．
2（1）求f(x)的最小正周期及最大值；
2两直线距离d?|9?6|?3d?3． ，∴S?A1B1·?2（2）若??(,?)，且f(?)?，求?的值．
2211112?解：（1）f(x)?(2cos2x?1)sin2x?cos4x?cos2xsin2x?cos4x?sin4x?cos4x?sin(4x?)
2422222????k??2所以，最小正周期T?． ?，当4x??2k???k?Z?，即x???k?Z?时，f(x)max?24242216??9??17?2?2（2）因为f(?)?，所以sin(4??)?1，因为????，所以， ?4???sin(4??)?24242444?5?9?所以4???，即??．
4216（16）【2013年北京，文16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指空250220247200数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于气质160158160150200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天量指143数1001218679到达该市，并停留2天． 865750374025（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；
01日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日（2）求此在在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，
6所以此人到达当日空气质量优良的概率是．
13（2）解法一：
根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或
45日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．
13解法二：
此人停留的两天共有13种选择，分别是：?1,2?，?2,3?，?3,4?，?4,5?，?5,6?，?6,7?，?7,8?，?8,9?，
日期?9,10?，?10,11?，?11,12?，?12,13?，?13,14?，其中只有一天重度污染的为?4,5?，?5,6?，?7,8?，?8,9?，
4． 13（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，文17，14分】如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，AB?AD，
CD?2AB，平面PAD?底面ABCD，PA?AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA?底面ABCD； （2）BE//平面PAD；
（3）平面BEF?平面PCD． 解：（1）因为平面PAD?底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，?PA?底面ABCD．
（2）因为AB//CD，CD?2AB，E为CD的中点，所以AB//DE，且AB?DE．所以ABED为平行四边
形．所以BE//AD．又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE//平面PAD．
（3）因为AB?AD，而且ABED为平行四边形，所以BE?CD，AD?CD．由（1）知PA?底面ABCD，
共4种，所以概率为P2?。
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所以PA?CD．所以CD?平面PAD．所以CD?PD．因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD//EF．所以CD?EF．所以CD?平面BEF．所以平面BEF?平面PCD．
（18）【2013年北京，文18，13分】已知函数f(x)?x2?xsinx?cosx．
（1）若曲线y?f(x)在点(a,f(a))处与直线y?b相切，求a与b的值； （2）若曲线y?f(x)与直线y?b有两个不同的交点，求b的取值范围． 解：（1）因为曲线y?f?x?在点(a，f?a?)处与直线y?b相切，所以f??a??a?2?cosa??0，b?f?a?．
解得a?0，b?f?0??1．
（2）解法一：
令f??x??0，得x?0．f?x?与f??x?的情况如下：
x f??x? f?x? (??，0) 0 0 1 (0，??) - + ] ^ 所以函数f?x?在区间(??，0)上单调递减，在区间(0，??)上单调递增，f?0??1是f?x?的最小值． 当b?1时，曲线y?f?x?与直线y?b最多只有一个交点；
当b?1时，f??2b??f?2b??4b2?2b?1?4b?2b?1?b，f?0??1?b，
所以存在x1???2b,0?，x2??0,2b?，使得f?x1??f?x2??b．由于函数f?x?在区间(??，0)和(0，??)上 均单调，所以当b?1时曲线y?f?x?与直线y?b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y?f?x?与直线y?b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，??)．
解法二：
因为2?cosx?0，所以当x?0时f'(x)?0，f(x)单调递增；当x?0时f'(x)?0，f(x)单调递减． 所以当x?0时，f(x)取得最小值f(0)?1，所以b的取值范围是(1,??)．
x2（19）【2013年北京，文19，14分】直线y?kx?m?m?0?，W：?y2?1相交于A，C两点，O是坐标原
4点．
（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形． 解：（1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
t21?1?所以可设A?t,?，代入椭圆方程得??1，即t??3．所以AC?23．
44?2?（2）解法一：
?x2?4y2?4假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC?OB，所以k?0．由?，
?y?kx?m
222消y并整理得?1?4k?x?8kmx?4m?4?0．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
x1?x2y1?y2x1?x24kmmm??4kmM?,，．所以的中点为． ???k??m?AC?22?21?4k2221?4k2?1?4k1?4k?1因为M为AC和OB的交点，且m?0，k?0，所以直线OB的斜率为?．
4k?1?因为k??????1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
?4k?所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． 解法二：
因为四边形OABC为菱形，所以OA?OC，设OA?OC?r?r?1?，则A，C两点为圆x2?y2?r2与
则
?x2?y2?r2x4(r2?1)?222椭圆?y?1的交点，联立方程?x，得x?，所以A，C两点的横坐标相等或 243??y?1?4互为相反数．因为点B在W上，若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点．不
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合题意．若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点．不合题意． 所以四边形OABC不可能为菱形
（20）【2013年北京，文20，13分】给定数列a1，a2，LL，an．对i?1,2,3,L,n?1，该数列前i项的最大值
记为Ai，后n?i项ai?1，ai?2，LL，an的最小值记为Bi，di?Ai?Bi． （1）设数列?an?为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；
（2）设a1，a2，LL，an（n?4）是公比大于1的等比数列，且a1?0，证明d1，d2，LL，dn?1是
等比数列；
（3）设d1，d2，LL，dn?1是公差大于0的等差数列，且d1?0，证明a1，a2，LL，an?1是等差数
列．
解：（1）d1?A1?B1?3?1?2，d2?A2?B2?4?1?3，d3?A3?B3?7?1?6． （2）因为a1，a2，LL，an（n?4）是公比大于1的等比数列，且a1?0，所以an?a1qn?1．
所以当k?1,2,3,L,n?1时，dk?Ak?Bk?ak?ak?1，所以当k?2,3,L,n?1时，
dka?ak?1ak?1q(1?q)?k??q，所以d1，d2，LL，dn?1是等比数列． dk?1ak?1?akak?1(1?q)（3）解法一：
若d1，d2，LL，dn?1是公差大于0的等差数列，则0?d1?d2?L?dn?1， a1，a2，LL，an?1应是递增数列，证明如下：
设ak是第一个使得ak?ak?1的项，则Ak?1?Ak，Bk?1?Bk，所以dk?1?Ak?1?Bk?1?Ak?Bk?dk，与已
知矛盾．所以，a1，a2，LL，an?1是递增数列．
再证明an数列?an?中最小项，否则ak?an（k?2,3,L,n?1），则 显然k?1，否则d1?A1?B1?a1?B1?a1?a1?0，与d1?0矛盾；
因而k?2，此时考虑dk?1?Ak?1?Bk?1?ak?1?ak?0，矛盾，因此an是数列?an?中最小项．
综上，dk?Ak?Bk?ak?an?k?2,3,L,n?1?，?ak?dk?an，也即a1，a2，LL，an?1是等差数列． 解法二：
?，dn?1公差．QBi?Bi?1，设d为d1，d2，对1?i?n?2， d?0，Ai?1?Bi?1?di?1?Bi?di?d?Bi?di?Ai．
?，an?1是递增数列． 又因为Ai?1?max{Ai，ai?1}，所以ai?1?Ai?1?Ai?ai．从而a1，a2，?，n?1)．因此Ai?ai(i?1,2，又因为B1?A1?d1?a1?d1?a1，所以B1?a1?a2???an?1．因此an?B1．
所以B1?B2???Bn?1?an．所以ai?Ai?Bi?di?an?di．
?，an?1是等差数列． 因此对i?1,2，?，n?2都有ai?1?ai?di?1?di?d，即a1，a2，。
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2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)
