高中数学选修2-1课时作业
3.1.2空间向量的数乘运算
一、选择题
1．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
uuurruuuruuuruuuruuuruuuuuurC. 若向量AB,CD满足 | AB|>| CD|，且AB与CD同向，则AB>
rruuuruuuuuuruuuuuur→
D. 若两个非零向量AB与CD满足AB+ CD = 0，则AB∥CD
[答案] D
uuurCD
[解析] A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
uuurC错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB这种写法．
→
>CD
uuuruuuruuuruuurD．对.∵AB + CD = 0 ,∴AB = ?CD，
rruuuruuuuuuruuu∴AB与CD共线，故AB∥CD，正确.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
uuuruuur→→uuur→uuur→→→A．AB?＋BC＝ACB．AB－BC＝ACC．AB＝BCD．|AB|＝|BC|
[答案] C
3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
uuuuruuuur1→1→1→→→→
A．OM＝2OA－OB－OCB．OM＝OA＋OB＋OC
532
uuuur→→→uuur→→
C．MA＋MB＋MC＝0D．OM＋OA＋OB＋OC＝0
[答案] C
uuur→→→→→→
[解析]若有MA＝xMB＋yMC，则M与点A、B、C共面，或者OM＝xOA＋yOB＋zOC且x
→→
＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，A、B、D三项不满足x＋y＋z＝1，C项满足MA＝xMB→
＋yMC，故选C.
4．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] 验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．
uuuuruuuuruuuurD1A,D1C,A1C15. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量是（）
A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量
1
高中数学选修2-1课时作业 [答案] C
uuuruuuuruuuuruuuuruuur[解析]如图所示，因为D1C?D1A?AC,而AC?A1C1,
uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuurruuuuruuuu∴ D1C?D1A?A1C1，即D1C?D1A?A1C1,而D1A与A1C1不共线，所以uuuuruuuurruuuuD1C，D1A，A1C1三向量共面.
二、填空题
uuur→→→
6．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB＋λOC，
则λ＝________. [答案] －2
uuur→→→
[解析] P与不共线三点A，B，C共面，且OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则x＋y
＋z＝1是四点共面的充要条件．
7．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)． [答案] 共面
[解析] 因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)所以三向量共面．
8. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若
uuuruuuruuurAC?a ,BBD = b , 则AF等于 ________．
21[答案]a＋b
33三、解答题
9 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．
求证：(1)E，F，D，B四点共面；
(2)平面AEF∥平面BDHG.
uuuruuuruuuruuuruuuur证明（1）∵ED?EB?BD?EB?B1D1,
uuuruuuruuur∴ED,EB,EF共面且具有公共点E，
∴E，F，D，B四点共面.
(2)∵E，F，G，H分别是A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点，
2
高中数学选修2-1课时作业
uuur1→→EF＝2B1D1＝GH，
uuuruuuruuuur→→→AF?AA1?A1F＝BB1＋B1G＝BG，
∴EF∥GH，AF∥BG，∴EF∥平面BDHG，AF∥平面BDHG，又AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面BDHG.
10．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．
证明 . 如图，利用多边形加法法则可得，
uuuruuuruuuruuurEF?EA?AD?DF , uuur→→→EF＝EB＋BC＋CF①
又E，F分别是AB，CD的中点，故有
uuur→→→
EA＝－EB，DF＝－CF，②
将②代入①后，
uuur1uuur1uuuruuur→→→→→
两式相加得2EA＝AD＋BC，∴EF?AD?BC，即EB与BC，AD共面，
22∴EF与AD，BC平行于同一平面．
3
高中数学选修2-1课时作业3：3.1.2 空间向量的数乘运算
