2015-2016学年山西省太原市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2分）在平面直角坐标系中，反比例函数A．第二、四象限 B．第一、三象限
的图象位于（ ）
C．第一、四象限 D．第三、四象限
2．（2分）若A．
，则=（ ） B．
C．
D．
3．（2分）一个圆柱体钢块，从正中间挖去一个长方体得到的零件毛坯的俯视图如图，其主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2分）校运动会上甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场有1、2、3、4条跑道．如果选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，则甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
5．（2分）已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于（ ） A．1.5cm2
B．3cm2
C．12cm2
D．24cm2
6．（2分）如图是滨河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
第1页（共26页）
A．（3）（4）（1）（2） （1）
B．（4）（3）（1）（2） C．（4）（3）（2）
D．（2）（4）（3）（1）
7．（2分）如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情况是（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
的图象上，则y1，y2大小关系
8．（2分）若A（3，y1），B（2，y2）在函数是（ ） A．y1＞y2
B．y1=y2
C．y1＜y2 D．无法确定
9．（2分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ） A．10cm
B．13cm
C．14cm
D．16cm
10．（2分）一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共26页）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x=1是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是 ． 12．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB=5cm，AC=15cm，DE=3cm，则EF的长为 cm．
13．（3分）一个不透明的袋子中有1个白球、3个黄球和2个红球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中一次随机摸出两个球都是黄球的概率为 ．
14．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E，则
的值等于 ．
15．（3分）如图是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半
轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于 ．
16．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于 ．
第3页（共26页）
三、解答题（本大题含8个小题，共62分） 17．（5分）解方程：x2+2x﹣1=0．
18．（7分）如图，△ABC 与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． （1）画出位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，面积比为 ．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求BC的长．
20．（8分）晚上，小亮在广场上乘凉．中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照亮灯．知小亮的身高1.6m． （1）图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮不灯杆的距离BO=13m，求小亮影子BC的长度．
第4页（共26页）
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
22．（10分）数学活动﹣﹣探究特殊的平行四边形． 问题情境?
如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB=AD，BC=DC．请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形． 提出问题
（1）第一小组添加的条件是“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形．请你证明； （2）第二小组添加的条件是“∠B=90°，∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形．请你证明．
23．（6分）春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件．销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件． （A）在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
（B）为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价多少元？
第5页（共26页）
24．（10分）启知学习小组在课外学习时，发现了这样一个问题：如图（1），在四边形ABCD中，连接AC，BD，如果△ABC与△BCD的面积相等，那么AD∥BC
在小组交流时，他们在图（1）中添加了如图所示的辅助线，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．请你完成他们的证明过程． 结论应用
在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x≠0）的图象经过A（1，4），B（a，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D． （A）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（2），已知b=1，AC，BD相交于点E，求证：CD∥AB． （B）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（3），若点B在第三象限，判断并证明CD与AB的位置关系．
第6页（共26页）
2015-2016学年山西省太原市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分） 1．（2分）在平面直角坐标系中，反比例函数A．第二、四象限 B．第一、三象限
的图象位于（ ）
C．第一、四象限 D．第三、四象限
【分析】首先确定反比例函数的比例系数的符号，然后根据反比例函数的性质确定反比例函数的图象的位置即可． 【解答】解：∵k=1＞0，
∴反比例函数y=的图象在第一，三象限内， 故选：B．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
2．（2分）若A．
，则=（ ） B．
C．
D．
【分析】由题干可得2b=3a﹣3b，根据比等式的性质即可解得a、b的比值． 【解答】解：∵∴5b=3a， ∴
，
，
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
3．（2分）一个圆柱体钢块，从正中间挖去一个长方体得到的零件毛坯的俯视图
第7页（共26页）
如图，其主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的视图，注意圆柱内的长方体的放置．
【解答】解：其主视图是故选：A．
，
【点评】此题主要考查了三视图，关键是要注意视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线．
4．（2分）校运动会上甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场有1、2、3、4条跑道．如果选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，则甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的概率是（ ） A．
B． C．
D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的只有1种情况，
第8页（共26页）
∴甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的概率是：故选：C．
．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2分）已知△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积等于（ ） A．1.5cm2
B．3cm2 C．12cm2 D．24cm2
【分析】根据题意求出两个三角形的周长比，根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′的周长比为2：1，△ABC∽△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为4：1，又△A′B′C′的面积为6， ∴△ABC的面积=24， 故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（2分）如图是滨河公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（4）（1）（2） （1）
B．（4）（3）（1）（2） C．（4）（3）（2）
D．（2）（4）（3）（1）
【分析】由于太阳从东方升起，在西边落下，则早上物体的影子向西，傍晚物体的影子向东，利用此情形可根据四个影子判断时间的顺序．
【解答】解：按照时间的先后顺序排列正确的是（4）、（3）、（2）、（1）． 故选：C．
第9页（共26页）
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
7．（2分）如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情况是（ ）
A．逐渐变短
B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
【分析】根据中心投影的特点，小明由甲处径直走到路灯下时，他的影长逐渐变短，由路灯下到乙处的过程中，他的影长逐渐变长．
【解答】解：晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长先变短，然后他的影长逐渐变长． 故选：B．
【点评】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（2分）若A（3，y1），B（2，y2）在函数是（ ） A．y1＞y2
的图象上，则y1，y2大小关系
B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据0＜x1
＜x2，判断出A、B两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数
中，k=2＞0，
第10页（共26页）
∴此函数图象的两个分支在一、三象限， ∵A（3，y1），B（2，y2），0＜2＜3， ∴A、B两点在第一象限，
∵在第一象限内y的值随x的增大而减小， ∴y1＜y2． 故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象所在的象限及A、B两点所在的象限是解答此题的关键．
9．（2分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ） A．10cm
B．13cm C．14cm D．16cm
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得， （x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300， 解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）； 答：正方形铁皮的边长应是16厘米． 故选：D．
【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系．
10．（2分）一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
第11页（共26页）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＞0，相矛盾，故错误；
B、由函数y=ax﹣a的图象可知a＞0，﹣a＞0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，错误；
C、由函数y=ax﹣a的图象可知a＜0，由函数y=（a≠0）的图象可知a＜0，正确；
D、由函数y=ax﹣a的图象可知m＞0，﹣a＜0，一次函数与y轴交与负半轴，相矛盾，故错误； 故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知x=1是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是 3 ．
【分析】把x=1代入方程，即可得到一个关于c的方程，求得c的值． 【解答】解：把x=1代入方程x2﹣4x+c=0得：12﹣4+c=0
第12页（共26页）
解得：c=3． 故答案是：3．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确求解c的值是解决本题的关键．
12．（3分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、C、D、E、F，AB=5cm，AC=15cm，DE=3cm，则EF的长为 6 cm．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到的性质求解．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴∴EF=6， 故答案为：6．
，即
，
，即，然后利用比例
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13．（3分）一个不透明的袋子中有1个白球、3个黄球和2个红球，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中一次随机摸出两个球都是黄球的概率为
．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与从中一次随机摸出两个球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：列表得：
白
白 ﹣ 黄 黄白 黄 黄白 第13页（共26页）
黄 黄白 红 红白 红 红白
黄 黄 黄 红 红 白黄 白黄 白黄 白红 白红 ﹣ 黄黄 黄黄 黄红 黄红 黄黄 ﹣ 黄黄 黄红 黄红 黄黄 黄黄 ﹣ 黄红 黄红 红黄 红黄 红黄 ﹣ 红红 红黄 红黄 红黄 红红 ﹣ ∵共有30种等可能的结果，从中一次随机摸出两个球都是黄球的有6种情况， ∴从中一次随机摸出两个球都是黄球的概率为：故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E，则
的值等于 ．
=．
【分析】设AB=AC=1，根据勾股定理求出BC，求出AD=2AC=2，根据勾股定理求出DC，求出AB∥CD，得出相似△AEB∽△DEC，得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：设AB=AC=1，由勾股定理得：BC=∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=1，∠D=30°， ∴AD=2AC=2，由勾股定理得：DC=∵∠BAC+∠CD=90°+90°=180°， ∴AB∥CD， ∴△AEB∽△DEC， ∴
=
，
=
，
=
，
第14页（共26页）
∴==， ．
故答案为：
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形性质，平行线的判定，勾股定理的应用，能得出相似三角形和求出AB、BC、CD的长是解此题的关键．
15．（3分）如图是反比例函数
与
在x轴上方的图象，点C是y轴正半
轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于 5 ．
【分析】先设C（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数
与
的图象上，可得到A点坐标为（，b），B
点坐标为（﹣，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设C（0，b）， ∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=的图象上， ∴当y=b，x=，即A点坐标为（，b）， 又∵点B在反比例函数y=﹣的图象上， ∴当y=b，x=﹣，即B点坐标为（﹣，b）， ∴AB=﹣（﹣）=∴S△ABC=?AB?OC=?
， ?b=5．
第15页（共26页）
故答案为：5．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于
．
【分析】过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，轴对称的性质可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可证明∠EAH=∠GFE，从而可证明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：过点F作FG⊥AD，垂足为G，连接AA′．
在Rt△EFG中，EG===5．
∵轴对称的性质可知AA′⊥EF， ∴∠EAH+∠AEH=90°． ∵FG⊥AD，
第16页（共26页）
∴∠GEF+∠EFG=90°． ∴∠DAA′=∠GFE． 在△GEF和△DA′A中，
，
∴△GEF≌△DA′A． ∴DA′=EG=5．
设AE=x，由翻折的性质可知EA′=x，则DE=12﹣x．
在Rt△EDA′中，由勾股定理得：EA′2=DE2+A′D2，即x2=（12﹣x）2+52． 解得：x=故答案为：
． ．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定，证得△GEF≌△DA′A从而求得A′D=5是解题的关键．
三、解答题（本大题含8个小题，共62分） 17．（5分）解方程：x2+2x﹣1=0．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解． 【解答】解：方程变形得：x2+2x=1， 配方得：x2+2x+1=2，即（x+1）2=2， 开方得：x+1=±解得：x1=﹣1+
， ，x2=﹣1﹣
．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．（7分）如图，△ABC 与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． （1）画出位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的相似比为 2：1 ，面积比为 4：1 ．
第17页（共26页）
【分析】（1）根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
（2）根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比． 【解答】解：（1）如图，点O为位似中心；
（2）因为AB：A′B′=OA：OA′=12：6=2：1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，面积比为4：1． 故答案为2：1； 4：1．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求BC的长．
第18页（共26页）
【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=4，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=8，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∴OA=OC=OB=OD， ∴AC=BD=8，
∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， 由勾股定理得：BC=
=
=4
．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．
20．（8分）晚上，小亮在广场上乘凉．中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照亮灯．知小亮的身高1.6m． （1）图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮不灯杆的距离BO=13m，求小亮影子BC的长度．
【分析】（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知△POC∽△ABC，利用相似比即可求解． 【解答】解：（1）如图所示：线段BC为所画的小亮的影子；
第19页（共26页）
（2）∵PO⊥OB，AB⊥OB， ∴AB∥PO， ∴△POC∽△ABC， ∴
=
，
∵PO=12cm，BO=13cm，AB=1.6m， 设BC=xm，代入得：
=
，
解得：x=2．
答：小亮影子BC的长度是2m．
【点评】本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：
第20页（共26页）
==
时，△BPQ∽△BAC，即，然后方程解方程即可．
=；当=时，△BPQ∽△BCA，即
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t， ∵∠PBQ=∠ABC， ∴当当
==
时，△BPQ∽△BAC，即时，△BPQ∽△BCA，即
==
，解得t=2（s）； ，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．
22．（10分）数学活动﹣﹣探究特殊的平行四边形． 问题情境?
如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB=AD，BC=DC．请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形． 提出问题
（1）第一小组添加的条件是“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形．请你证明； （2）第二小组添加的条件是“∠B=90°，∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形．请你证明．
【分析】（1）先根据SSS定理得出△ABC≌△ADC，故可得出∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．再由AB∥CD可得出∠BAC=∠DCA，根据等边对等角可得出四边形的四条边均相等，进而可得出结论；
第21页（共26页）
（2）根据△ABC≌△ADC得出∠D=∠B，再由∠BCD=90°得出四边形ABCD是矩形，根据BC=DC可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA． ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DCA=∠BCA=∠DAC， ∴AB=BC，DA=DC． ∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC， ∴∠D=∠B． ∵∠B=90°， ∴∠D=∠B=90°． ∵∠D=∠B=90°， ∵∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形． ∵BC=DC，
∴矩形ABCD是正方形．
【点评】本题考查的是菱形的判定，涉及到全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的判定等知识，难度适中．
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23．（6分）春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件．销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件． （A）在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
（B）为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价多少元？
【分析】（1）分别表示出每件销售的利润和销售量，根据单件销售利润×销售量=1800列出方程即可求解；
（2）首先根据题意列出方程，利用根的判别式判断方程没有实数根后再列出方程求解即可．
【解答】解：（A）设每件应降价x元，根据题意得：（20﹣x﹣12）（240+40x）=1800， 解得：x=3或x=﹣1（舍）． 答：每件应降价3元；
（B）①设每件应降价x元， （20﹣x﹣12）（240+40x）=1980， ∵△＜0，
∴原方程无实数根；
②设每件应该涨价y元，
（20+y﹣12）（240﹣40y）=1980， 解得：y=3或y=1， 则20+3=23元， 20+1=21元，
答：为了使得该商品每天盈利1980元，每件定价应为21或23元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够分别表示出销售量和单件的销售利润，从而列出方程求解，解答过程中注意舍去不符合题意的根．
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24．（10分）启知学习小组在课外学习时，发现了这样一个问题：如图（1），在四边形ABCD中，连接AC，BD，如果△ABC与△BCD的面积相等，那么AD∥BC
在小组交流时，他们在图（1）中添加了如图所示的辅助线，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．请你完成他们的证明过程． 结论应用
在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x≠0）的图象经过A（1，4），B（a，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D． （A）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（2），已知b=1，AC，BD相交于点E，求证：CD∥AB． （B）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图（3），若点B在第三象限，判断并证明CD与AB的位置关系．
【分析】先根据两三角形的面积相等得出AE=AF，再由AE⊥BC，DF⊥BC得出AE∥DF，故可判断出四边形AEFD是平行四边形，由此可得出结论； （A）（1）直接把点A的坐标代入反比函数的解析式即可；
（2）连接AD、BC，先根据b=1得出B点坐标，再由AC⊥x轴，BD⊥y轴得出C、D、E三点坐标，故可得出CE=DE=1，AE=BE=3．再由S△ABC=S△ADB即可得出结论；
（B）（1）直接把点A的坐标代入反比函数的解析式即可；
（2）连接AD，BC，延长BD，AC相交于点M，根据A（1，4），B（a，b）可得
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出M（1，b），BM=1﹣a，AM=4﹣b，且b=，再得出S△ABC及S△ABD表达式即可得出S△ABC=S△ABD，由此得出结论．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F， ∴S△ABC=BC?AE，S△BCD=BC?DF． ∵S△ABC=S△BCD， ∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥BC．
（A）（1）∵把点A（1，4）代入反比例函数y=得，4=，解得m=4， ∴反比例函数的表达式为：y=； （2）如图1，连接AD、BC， ∵把b=1代入函数解析式得，a=4， ∴B（4，1）．
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴AC⊥BD，C（1，0），D（0，1），E（1，1）， ∴CE=DE=1，AE=BE=3．
∵S△ABC=AC?BE，S△ADB=BD?AE，且AC=BD=4，BE=AE=3， ∴S△ABC=S△ADB， ∴CD∥AB．
（B）（1）∵A（1，4）， ∴4=，解得m=4，
∴反比例函数的表达式为：y=； （2）CD∥AB．
理由：如图2，连接AD，BC，延长BD，AC相交于点M，
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∵A（1，4），B（a，b），
∴M（1，b），BM=1﹣a，AM=4﹣b，且b=， ∴S△ABC=AC?BM=×4（1﹣a）=2（1﹣a），
S△ABD=BD?AM=（﹣a）（4﹣b）=（﹣a）（4﹣）=2（1﹣a）， ∴S△ABC=S△ABD， ∴CD∥AB．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、三角形的面积公式及平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出等底同高的三角形是解答此题的关键．
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2015-2016学年山西省太原市九年级（上）期末数学试卷
