前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分）
y
(x ? y) ln(1 ? ) x dxdy ? 16/15，其中区域D 由直线
1. 计算??D
1 ? x ? y
x ? y ? 1 与两坐标轴所围成三角形区域.
解:令x ? y ? u, x ? v ，则x ? v, y ? u ? v ，
? 0 1 ??dxdy ? det??? dudv ? dudv ， ?
? 1 ? 1???
令t ? 1? u ，则u ? 1 ? t 2
? ?0
1
u 2 1? u du （*）
du ? ?2tdt ， u 2 ? 1 ? 2t 2 ? t 4 ， u(1 ? u) ? t 2 (1 ? t)(1 ? t) ，
f (x)dx ? 2 ,则 2. 设 f (x) 是连续函数，且满足 f (x) ? 3x2 ? ? 0 f (x) ? 2
.
解:令 A ? ??f (x)dx ，则 f (x) ? 3x2 ? A ? 2 ，
0
?
2
2 x A ? ??0 (3 ? A ? 2)d x
2
8 ? 2(A ? 2) ? 4 ? 2A,
??
解得 A ? 。因此 f (x) ? 3x2 ?
?
4 10
。
2
x3. 曲面z ? ?
3 3
2 y 2 ? 2 平行平面2x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是
.
解:因平面2x ? 2 y ? z ? 0 的法向量为(2,2,?1) ，而曲面
2xz ?
2
故(zx (x0 , y0 ), zy (x0 , y0 ),?1) 与(2,2,?1) 平行，因此，由zx ? x ，
? y ? 2 在(x0 , y0 ) 处的法向量为(zx (x0 , y0 ), zy (x0 , y0 ),?1) ，
2
zy ? 2 y 知2 ? zx (x0 , y0 ) ? x0 ,2 ? zy (x0 , y0 ) ? 2 y0 ，
即x0 ? 2, y0 ? 1，又z(x0 , y0 ) ? z(2,1) ? 5 ，于是曲面
2x ? 2 y ? z ? 0 在(x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是 x2
? ??
2(x ? 2) ? 2( y ? 1) ? (z ? 5) ? 0 ，即曲面z y 2 ? 2 平行平面
2 2x ? 2 y ? z ? 0 的切平面方程是2x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 。
?
4. 设函数 y ? y(x) 由方程xe f (y) ? ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数， 且 f ? ? 1 ，则
d2 y dx
2
?
.
1
1
解:方程xe f ( y) ? ey ln 29 的两边对x 求导，得 因ey ln 29 ? xe f ( y) ，故 ? f ?( y) y? ? y?，即 y? ?
x
ex ? e2x ? ? ? enx e
，因此
x(1 ? f ?( y))
n
) x ，其中n 是给定的正整数.
二、（5 分）求极限lim( x?0
解:因 故 因此
三、（15 分）设函数 f (x) 连续， g(x) ? ?f (xt)dt ，且lim
1 0
x?0
f (x) x
? A ， A 为
常数，求 g?(x) 并讨论 g?(x) 在x ? 0 处的连续性.
解:由lim
x?0
f (x) x
? A 和函数 f (x) 连续知，
f (0) ? lim f (x) ? lim x lim f (x) ? 0
x?0 x?0 x?0
x
因g(x) ? ?f (xt)dt ，故g(0) ? f (0)dt ? f (0) ? 0 ， ??
0
0
1 1 因此，当 x ? 0 时， g(x) ? 当 x ? 0 时，
g?(x) ? ?
1
1
? f (u)du ，故
x 0
x
x
x2 ?0 x 这表明 g?(x) 在x ? 0 处连续.
f (u)du ? f (x) ，
四、（15 分）已知平面区域D ? {(x, y) | 0 ? x ? , 0 ? y ? }， L 为D 的正向边界，试证：
（1） ? xesin ydy ? ye?sin xdx ?? xe?sin ydy ? yesin xdx ；
L
L
（2） ? xesin ydy ? ye?sin ydx ?L
52 2
.
证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1） ??因此 （2）因故由 知
即 ? xesin ydy ? ye?sin ydx ?
L
? ??sin y ???
(xe) ??sinx??sin x sin y xedy ? ye dx ? ?? ? (? ye )?dxdy ?x?y ??L D ??
而D 关于x 和 y 是对称的，即知
5
2
2
五、（10 分）已知 y1 ? xex ? e2x ， y ? xex ? e?x ， y 3 ? xex ? e2x ? e?x 是某2 二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设 y1 ? xex ? e2x ， y 2 ? xex ? e?x ， y 3 ? xex ? e2x ? e?x 是二阶常系数 线性非齐次微分方程
的三个解，则 y2 ? y ? e? x ? e2 x 和 y ? y ? e?x 都是二阶常系数线性齐次
1
3
1
微分方程
的解，因此 y ? by? ? cy ? 0 的特征多项式是(? 2)(? 1) ? 0 ，而
y ? by? ? cy ? 0 的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为 y ? y? ? 2 y ? 0 ，由
y1 ? y1? ? 2 y1 ? f (x) 和
y? ? ex ? xex ? 2e2x ， y ? 2ex ? xex ? 4e2x
1
1
1
1 1
知， f (x) ? y ? y? ? 2 y ? xex ? 2ex ? 4e2x ? (xex ? ex ? 2e2x ) ? 2(xex ? e2x ) 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10 分）设抛物线 y ? ax2 ? bx ? 2 ln c 过原点.当0 ? x ? 1 时, y ? 0 ,
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