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第53课 用样本估计总体
[最新考纲]
内容 总体分布的估计 总体特征数的估计 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图．
2．频率分布折线图和总体分布的密度曲线
(1)频率分布折线图：将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．
(2)总体分布的密度曲线：将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，那么相应的频率折线图趋于一条光滑曲线，称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．
3．茎叶图
统计中还有一种被用来表示数据的图叫作茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
4．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 一组数据中重复出现次数最多的数 把一组数据按从小到大的中位数 顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 如果有n个数据x1，x2…，优点与缺点 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平 要求 A √ √ B C 众数 平均数 xn，那么这n个数的平均1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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－x1＋x2＋…＋xn数x＝ 均数在估计总体时可靠性降低 n(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝1
n[x1－x－
2
－＋x2－x2
2
－
＋…＋xn－x2
].
②方差：标准差的平方s
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，
nn是样本容量，x是样本平均数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )
[解析] (1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散． 频率
(3)正确．小矩形的面积＝组距×＝频率．
组距
(4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图53-1所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________．
图53-1
91．5和91.5 [这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. 91＋92∴中位数是＝91.5，
2
87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96
平均数x＝＝91.5.]
8
3．如图53-2所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20]内的频数是________．
图53-2
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1－－－
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30 [因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×100＝30.]
4．(2016·江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．
4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5
0．1 [5个数的平均数x＝＝5.1，
5
122222
所以它们的方差s＝[(4.7－5.1)＋(4.8－5.1)＋(5.1－5.1)＋(5.4－5.1)＋(5.5
5－5.1)]＝0.1.]
5．(2017·南通模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图53-3，已知记录的平均身高为175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________．
图53-3
1
2 [170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，
71
则×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.] 7
样本的数字特征 2
(1)(2015·广东高考)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值x＝5，则样本数据
2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
(2)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，
b)．其中a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败．
若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差．并比较甲、乙两组的研发水平.
【导学号：】
(1)11
[由条件知x＝
x1＋x2＋…＋xn＝5，则所求均值xn0
＝
2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1
＝
n2
x1＋x2＋…＋xn＋n＝2x＋1＝2×5＋1＝11.]
n(2)甲组研发新产品的成绩为
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1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 102
其平均数为x甲＝＝.
153
1??2?2?2?2?22
方差s甲＝??1－?×10＋?0－?×5?＝.
3?15???3??9乙组研发新产品的成绩为
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 93
其平均数为x乙＝＝.
155
1??3?2?3?2?62
方差s乙＝??1－?×9＋?0－?×6?＝.
5?15???5??25因为x甲＞x乙，s甲＜s乙， 所以甲组的研发水平优于乙组．
[规律方法] 1.平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式.
2．可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择．
[变式训练1] (2017·南京三模)甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩(单位：环)如下表：
选手 甲 乙 第1轮 9.8 9.4 第2轮 9.9 10.3 第3轮 10.1 10.8 第4轮 10 9.7 第5轮 10.2 9.8 2
2
则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是________． －9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2
0．02 [x甲＝＝10.
5－
x乙＝
15
9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8
＝10.
5
22222
s2甲＝[(9.8－10)＋(9.9－10)＋(10.1－10)＋(10－10)＋(10.2－10)]
1
＝(0.04＋0.01＋0.01＋0.04) 5＝0.02.
22222
s2乙＝[(9.4－10)＋(10.3－10)＋(10.8－10)＋(9.7－10)＋(9.8－10)]
1
5
1
＝(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04) 5
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＝0.244，
∴s甲 茎叶图及其应用 2 2 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位 市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下： 图53-4 (1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． [解] (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75. 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋68 ＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. 2 58 (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，5050＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大． [规律方法] 1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况． 2．(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理． (2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息． [变式训练2] 已知甲、乙两组数据如茎叶图53-5所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m＋n＝________. 【导学号：】 图53-5 11 [∵两组数据的中位数相同， 2＋4 ∴m＝＝3. 2 又∵两组数据的平均数也相同， ∴ 27＋33＋3920＋n＋32＋34＋38 ＝，∴n＝8， 34 5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
高考数学一轮复习第十章算法统计与概率第53课用样本估计总体教师用书
