第4章 异方差性
一、单项选择
1.Goldfeld-Quandt方法用于检验（ ） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性
2.在异方差性情况下，常用的估计方法是（ ） A.一阶差分法 B.广义差分法 C.工具变量法 D.加权最小二乘法 3.White检验方法主要用于检验（ ） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性 4.Glejser检验方法主要用于检验（ ） A.异方差性 B.自相关性 C.随机解释变量 D.多重共线性
5.下列哪种方法不是检验异方差的方法 （ ）
A.戈德菲尔特——匡特检验 B.怀特检验
C.戈里瑟检验 D.方差膨胀因子检验 6.当存在异方差现象时，估计模型参数的适当方法是 （ ） A.加权最小二乘法 B.工具变量法
C.广义差分法 D.使用非样本先验信息
7.加权最小二乘法克服异方差的主要原理是通过赋予不同观测点以不同的权数，从而提高估计精度，即 （ ）
A.重视大误差的作用，轻视小误差的作用 B.重视小误差的作用，轻视大误差的作用 C.重视小误差和大误差的作用 D.轻视小误差和大误差的作用
e8.如果戈里瑟检验表明，普通最小二乘估计结果的残差i与
相关关系（
（ ）
xi有显著的形式
ei?0.28715xi?vi的
vi满足线性模型的全部经典假设），则用加权最小二乘法估计模型参数时，权数应为
1112xixixxiA. B. C. i D.
9.如果戈德菲尔特——匡特检验显著，则认为什么问题是严重的 （ ）
A.异方差问题 B.序列相关问题 C.多重共线性问题 D.设定误差问题 10.设回归模型为
yi?bxi?ui，其中
Var(ui)??2xi，则b的最有效估计量为（ ）
??bA.
n?xy??x?y?xy?b?x? B. n?x?(?x)
222??ybxC.
y??1b?xn D.
二、多项选择
1.下列计量经济分析中那些很可能存在异方差问题（ ） A.用横截面数据建立家庭消费支出对家庭收入水平的回归模型 B.用横截面数据建立产出对劳动和资本的回归模型
C.以凯恩斯的有效需求理论为基础构造宏观计量经济模型 D.以国民经济核算帐户为基础构造宏观计量经济模型 E.以30年的时序数据建立某种商品的市场供需模型
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2.在异方差条件下普通最小二乘法具有如下性质（）
A、线性 B、无偏性 C、最小方差性 D、精确性 E、有效性 3.异方差性将导致
A、普通最小二乘法估计量有偏和非一致 B、普通最小二乘法估计量非有效
C、普通最小二乘法估计量的方差的估计量有偏
D、建立在普通最小二乘法估计基础上的假设检验失效 E、建立在普通最小二乘法估计基础上的预测区间变宽 4.下列哪些方法可用于异方差性的检验（）
A、DW检验 B、方差膨胀因子检验法 C、判定系数增量贡献法 D、样本分段比较法 E、残差回归检验法
5.当模型存在异方差现象进，加权最小二乘估计量具备（ ）
A、线性 B、无偏性 C、有效性 D、一致性 E、精确性 6.下列说法正确的有（）
A、当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性 B、当异方差出现时，常用的t和F检验失效
C、异方差情况下，通常的OLS估计一定高估了估计量的标准差
D、如果OLS回归的残差表现出系统性，则说明数据中不存在异方差性 E、如果回归模型中遗漏一个重要变量，则OLS残差必定表现出明显的趋势 三、名词解释
1.异方差性 2.格德菲尔特-匡特检验 3.怀特检验 4.戈里瑟检验和帕克检验 四、简答题
1.什么是异方差性？试举例说明经济现象中的异方差性。
2.产生异方差性的原因及异方差性对模型的OLS估计有何影响。 3.检验异方差性的方法有哪些？ 4.异方差性的解决方法有哪些？
5.什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？
6.样本分段法（即戈德菲尔特——匡特检验）检验异方差性的基本原理及其使用条件。 五、计算题 1.设消费函数为
yi?b0?b1xi?ui，其中yi为消费支出，xi为个人可支配收入， ui为随机误差项，
??2xi2（其中?2为常数）。试回答以下问题：
并且E(ui)?0,Var(ui)（1）选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；
（2）写出修正异方差后的参数估计量的表达式。
2.检验下列模型是否存在异方差性，列出检验步骤，给出结论。
yt?b0?b1x1t?b2x2t?b3x3t?ut
样本共40个，本题假设去掉c=12个样本，假设异方差由
x1i引起，数值小的一组残差平方和为
RSS1?0.466E?17，数值大的一组平方和为RSS2?0.36E?17。F0.05(10,10)?2.98
3.假设回归模型为：
yi?a?ui，其中：ui?N(0,?2xi);E(uiuj)?0,i?j；并且xi是非随机变
量，求模型参数b的最佳线性无偏估计量及其方差。 4.现有x和Y的样本观测值如下表: x 2 5 10 y 4 7 4 假设y对x的回归模型为yi
4 5 10 9 ?b0?b1xi?ui，且Var(ui)??2xi2，试用适当的方法估计此回归模型。
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5.某人根据某区的有关资料作如下的回归模型，结果为：
?Yi=10.093?0.239Xiln t = (54.7) (?12.28) R2=0.803?Yiln1=9.932?0.2258XiXiXi
其中，Y表示人口密度，X表示离中心商业区的距离（英里）
(1)如果存在异方差，异方差的结构是什么？（2）从变换后的（WLS）回归函数中，你如何知道异方差已被消除或减弱了？（3）你如何解释回归结果？它是否有经济意义？
t = (47.87) (?15.10)答案 一、单选
A D A A D A B C A C 二、多选
1.ABCDE 2.AB 3.BCDE 4.DE 5.ABCDE 6.BE 三、名词解释 1.异方差性：在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项i具有异方差性。
2.戈德菲尔特-匡特检验:该方法由S.M.Goldfeld和R.E.Quandt于1965年提出，用对样本进行分段比较的方法来判断异方差性。
3.怀特检验:该检验由White在1980年提出，通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差性。
4.戈里瑟检验和帕克检验:该检验法由戈里瑟和帕克于1969年提出，其基本原理都是通过建立残差序列对解释变量的（辅助）回归模型，判断随机误差项的方差与解释变量之间是否存在着较强的相关关系，进而判断是否存在异方差性。 四、简答题
1. 异方差性是指模型违反了古典假定中的同方差假定，它是计量经济分析中的一个专门问题。在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项ui具有异方差性，即var(ui)u??t2?常数 （t=1，2，??，n）。例如，利用横截面数据研究消费和收入
之间的关系时，对收入较少的家庭在满足基本消费支出之后的剩余收入已经不多，用在购买生活必需品上的比例较大，消费的分散幅度不大。收入较多的家庭有更多可自由支配的收入，使得这些家庭的消费有更大的选择范围。由于个性、爱好、储蓄心理、消费习惯和家庭成员构成等那个的差异，使消费的分散幅度增大，或者说低收入家庭消费的分散度和高收入家庭消费得分散度相比较，可以认为牵着小于后者。这种被解释变量的分散幅度的变化，反映到模型中，可以理解为误差项方差的变化。
2.产生原因：（1）模型中遗漏了某些解释变量；（2）模型函数形式的设定误差；（3）样本数据的测量误差；（4）随机因素的影响。
产生的影响：如果线性回归模型的随机误差项存在异方差性，会对模型参数估计、模型检验及模型应用带来重大影响，主要有：（1）不影响模型参数最小二乘估计值的无偏性；（2）参数的最小二乘估计量不是一个有效的估计量；（3）对模型参数估计值的显著性检验失效；（4）模型估计式的代表性降低，预测精度精度降低。 3.检验方法：（1）图示检验法；（2）戈德菲尔德—匡特检验；（3）怀特检验；（4）戈里瑟检验和帕克检验（残差回归检验法）；（5）ARCH检验（自回归条件异方差检验） 4.解决方法：（1）模型变换法；（2）加权最小二乘法；（3）模型的对数变换等 5.加权最小二乘法的基本原理：最小二乘法的基本原理是使残差平方和
2e?t为最小，在异方差情况下，
2x,e?总体回归直线对于不同的tt的波动幅度相差很大。随机误差项方差t越小，样本点yt对总体回归
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2e?直线的偏离程度越低，残差t的可信度越高（或者说样本点的代表性越强）；而t较大的样本点可能会
偏离总体回归直线很远，et的可信度较低（或者说样本点的代表性较弱）。因此，在考虑异方差模型的拟合总误差时，对于不同的et应该区别对待。具体做法：对较小的et给于充分的重视，即给于较大的权数；对较大的et给于充分的重视，即给于较小的权数。更好的使
2222e?t反映var(ui)对残差平方和的影响程
度，从而改善参数估计的统计性质。
6. 样本分段法（即戈德菲尔特—匡特检验）的基本原理：将样本分为容量相等的两部分，然后分别对样本1和样本2进行回归，并计算两个子样本的残差平方和，如果随机误差项是同方差的，则这两个子样本的残差平方和应该大致相等；如果是异方差的，则两者差别较大，以此来判断是否存在异方差。使用条件：（1）样本容量要尽可能大，一般而言应该在参数个数两倍以上；（2）ut服从正态分布，且除了异方差条件外，其它假定均满足。 六、计算题
yi?b0?b1xi?ui （1）等号两边同除以xi， yiui1?b?b? 新模型：（2） 01xixixiyi*ui1*,xi?,vi? 令yi? xixixi1. 解：（一）原模型：
则：（2）变为
yi*?b1?b0xi*?vi
ui1)?2(?2xi2)??2新模型不存在异方差性。 xixi此时Var(vi)?Var(（二）对
yi*?b1?b0xi*?vi进行普通最小二乘估计
* 其中yi??n?xi*yi*??xi*?yi*?b0?n?(xi*)2?(?xi*)2??**b?y?bx1i0i?yi*1,xi?xixi
（进一步带入计算也可）
2.解：（1）H0:ut为同方差性; H1:ut为异方差性;
RSS10.466E?17??1.29 RSS20.36E?17（3）F0.05(10,10)?2.98
（2）F?（4）F?F0.05(10,10)，接受原假设，认为随机误差项为同方差性。 3.解：原模型：
yi?a?ui 根据ui?N(0,?2xi);E(uiuj)?0,i?j
xi
为消除异方差性，模型等号两边同除以模型变为：yiyiuia??xixixi*i 令
y?*iui1,x?,vi?xixixi
则得到新模型：
yi*?axi*?vi
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此时Var(vi1i)?Var(ux)?x(?2xi)??2新模型不存在异方差性。 ii利用普通最小二乘法，估计参数得：
x*y*?(1)(yi)a?????x*?2?xixi?(1??yixix)?1x ii4.解：原模型：y22i?b0?b1x1?ui ， Var(ui)??x1模型存在异方差性
为消除异方差性，模型两边同除以，
y得：ix?b1?bui01? ixixi令y*i?yi*1uix,xi?,vi?
ixixi则：（2）变为
y*i?b1?b0x*i?vi
此时Var(vuii)?Var(x)?12(?2x2i)??2新模型不存在异方差性 ixi由已知数据，得 xi 2 5 10 4 10 x*i 0.5 0.2 0.1 0.25 0.1 yi 4 7 4 5 9 y*i 2 1.4 0.4 1.25 0.9 根据以上数据，对
y*i?b1?b*0xi?vi进行普通最小二乘估计得：
?n?x**??iy*i??x*i?yi??b0?n?(x*2*2?b1.770?0.54?3.28?i)?(?xi)解得??b?1?y*i?b0x*i??b1?5.951.15 5?3.28?5?0.44 25
计量经济学总题库
