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专题突破(十) 新定义问题
新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．
新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等．这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特．
年份 考点 北京第25题分析 2014 新定义问题——先学习后判断，函数综合 北京第29题分析 2015 给出新定义，学习，应用 1．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙O的反称点的定义如下：若在射线．．CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图Z10－1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
(1)当⊙O的半径为1时．
3
①分别判断点M(2，1)，N(，0)，T(1，3)关于⊙O的反称点是否存在，若存在，求其
2坐标；
②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围．
(2)当⊙C的圆心在x轴上，且半径为1，直线y＝－3
x＋2 3与x轴、y轴分别交于点3
A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
图Z10－1
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2．[2014·北京] 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1.
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(1)分别判断函数y＝(x>0)和y＝x＋1(－4 x边界值； (2)若函数y＝－x＋1(a≤x≤b，b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围； (3)将函数y＝x2(－1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值3 是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1? 4 图Z10－2 3．[2013·北京] 对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点． 11 已知点D(，)，E(0，－2)，F(2 3，0)． 22 (1)当⊙O的半径为1时， ①在点D，E，F中，⊙O的关联点是________； ②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P(m，n)是⊙O的关联点，求m的取值范围； (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围． 图Z10－3 www.czsx.com.cn 4．[2012·北京] 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|； 若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|. 例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图Z10－4(a)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)． 1 (1)已知点A(－，0)，B为y轴上的一个动点． 2 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值． 3 (2)已知C是直线y＝x＋3上的一个动点， 4 ①如图(b)，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标． ②如图(c)，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标． 图Z10－4 1．[2015·平谷一模] b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝－x＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”． 2015 (1)反比例函数y＝是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； x(2)若二次函数y＝x2－2x－k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值； (3)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)． www.czsx.com.cn 2．[2015·东城一模] 定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a.如：min{1，－2}＝－2，min{－1，2}＝－1. 2 (1)求min{x－1，－2}； (2)已知min{x2－2x＋k，－3}＝－3，求实数k的取值范围； (3)已知当－2≤x≤3时，min{x2－2x－15，m(x＋1)}＝x2－2x－15.直接写出实数m的取值范围． 3．[2015·海淀二模] 如图Z10－5(a)，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(－1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1－T2联络点．例如，点1 P(0，)是T1－T2联络点． 2 (1)以下各点中，________是T1－T2联络点(填出所有正确的序号)； ①(0，2)；②(－4，2)；③(3，2)． (2)直接在图(a)中画出所有T1－T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示． (3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1－T2联络点， ①若r＝1，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围． 图Z10－5 www.czsx.com.cn 4．[2015·门头沟一模] 如图Z10－6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽． 图Z10－6 1 (1)抛物线y＝x2的碟宽为________，抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为________． 2(2)如果抛物线y＝a(x－1)2－6a(a＞0)的碟宽为6，那么a＝________． (3)将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn(an＞0)的准蝶形记为Fn(n＝1，2，3，?)，我们定义F1，1 F2，?，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn－1的相似比为，且Fn 2的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1. ①求抛物线y2的函数解析式． ②请判断F1，F2，?，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式；如果不是，说明理由． 图Z10－7
2016中考复习方案（北京专版）专题突破十 新定义问题（含答案）
