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课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律 【例1】化简
211［（4a-3b）+b-(6a-7b)］=___________________. 334思路分析：利用数乘运算的运算律将括号去掉，然后合并各向量即可.
2137［4a-3b+b-a+b］ 33242317=［(4-)a+(-3++)b］ 32342511511=［a-b］=a?b.
3212318511答案：a?b
318原式=
温馨提示
（1）向量的加法、减法、数乘的混合运算，类似于代数运算中的合并同类顶，只不过现在的同类项是指共线向量.
（2）熟练掌握数乘运算的结合律和分配律是解决这类问题的关键. 2.向量数乘的应用
【例2】 已知：如右图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE
1BC. 2
思路分析：只需证明DE=
1BC即可. 2证明：因为D、E分别为AB、AC的中点，故AD=
11AB，AE=AC. 22111DE=AE-AD=(AC-AB)=BC.而D、B不重合，所以DEBC.
222温馨提示
向量共线可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.但直线平行不包括重合的情况. 【例3】如下图，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC=a，CA=b.
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求证：（1）AD=-（2）BE=a+
1a-b; 21b； 211（3）CF=-a+b；
22（4）AD+BE+CF=0.
思路分析：想办法找到已知向量和所求的向量的联系. 证明：（1）AD=AC+CD=-b-(2)BE=BC+CE=a+
1a； 21b; 21AB 21111=b+(AC+CB)=b+(-b-a)=-a+b;
22221111(4)AD+CF+BE=-a-b-a+b+a+b=0.
2222（3）CF=CA+AF=CA+
温馨提示
用已知向量表示未知向量的问题，一般是运用三角形法则或平行四边形法则建立已知向量和未知向量的联系.
3.对向量数乘的概念的再理解
【例4】 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假： （1）2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； （2）-2a的方向与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的（3）-2a与2a是一对相反向量；
（4）a-b与-（b-a）是一对相反的向量. 解：（1）真命题.
∵2＞0,∴2a与a的方向相同,又|2a|=2|a|, ∴命题①是真命题. （2）真命题.
∵5＞0,∴5a与a方向相同，且|5a|=5|a|， 而-2＜0,∴-2a与a的方向相反，|-2a|=2|a|. ∴-2a与5a的方向相反，且模是5a的
2倍； 52. 5故（2）是真命题. （3）真命题.
依据相反向量的定义及实数与向量乘积的定义进行判断. （4）假命题.
∵a-b与b-a是一对相反向量, ∴a-b与-（b-a）是一对相等向量. 故（4）是假命题.
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各个击破 类题演练1 将
1［2(2a+8b)-4(4a-2b)］化简成最简式为（ ） 121［（4a-16a）+（16b+8b）］ 12A.2a-b B.2b-a C.a-b D.b-a 解析：原式==
1(-12a+24b)=2b-a. 12答案：B 变式提升1
11a)-(b+c-3x)+b=0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量x=_____________. 3221137211411解析：原式变形为2x-a-b-c+x+b=0,x=a-b+c,∴x=a-b+c,
322223222177411答案：a-b+c
2177若2(x-类题演练2
ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证四边形EFGH为平行四边形.
证明：如右图，∵F、G分别为AB、AC中点，∴FG=
11BC，同理EH=BC， 22∴FG=EH，同理EF=HG.∴四边形EFGH为平行四边形. 变式提升2
设a、b是不共线的两个向量，已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a-2b,若A、B、D三点共线，求k的值.
解：由已知，必存在实数λ，使AB=λBD而BD=BC+CD=（a+b）+(a-2b)=2a-b. ∴2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb, 于是??2?2?,???1,,∴k=-1. ??k???,k??1.??类题演练3
如右图所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC=a，
BD=b，试用a、b分别表示DE、CE和MN.
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人教版高中数学高一A版必修4课堂导学案 向量数乘运算及其几何意义
