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【优化设计】 高中数学 2.1曲线与方程课后习题 新
人教A版选修2-1 课时演练·促提升 A组 1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”. 答案:B
2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为( ) A.一条直线 B.一条射线 C.一条线段 D.不能确定
解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线. 答案:B
3.曲线xy=2与直线y=x的交点是( ) A.() B.(-,-) C.()或(-,-) D.不存在
解析:由解得即交点坐标为()或(-,-). 答案:C
4.如图所示的曲线方程是( )
A.|x|-y=0 B.x-|y|=0 C.-1=0 D.-1=0
解析:∵(0,0)点在曲线上,
∴C,D不正确. ∵x≥0,y∈R, ∴B正确. 答案:B
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5.一动点C在曲线x+y=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
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A.(x+3)+y=4 B.(x-3)+y=1
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C.(2x-3)+4y=1 D.+y=1
解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有
所以
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因为点C(x0,y0)在曲线x+y=1上,所以(2x-3)+(2y)=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)+4y=1. 答案:C
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6.如果方程ax+by=4的曲线过点A(0,-2),B,则a= ,b= . 解析:由已知解得 答案:4 1
7.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是 .
解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.
由|MA|=3|MB|, 得=3,
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化简得x+y=9. 22
答案:x+y=9
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8.已知曲线C的方程是y-xy+2x+k=0. (1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;
(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称? 解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,
2
所以(-1)-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.
2
(2)当k=0时,曲线C的方程为y-xy+2x=0.
2
以-x代替x,y不变,方程化为y+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;
2
以-y代替y,x不变,方程化为y+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;
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同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.
9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.
解:设动点P的坐标为(x,y),
则点Q的坐标为(0,y). 于是=(-x,0),=(-x,-y), =(--x,-y),=x2-2+y2.
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由=2,得x-2+y=2x,
22
即y-x=2.
22
故动点P的轨迹方程为y-x=2.
B组
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1.方程x+xy=x表示的曲线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线
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解析:∵x+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,
∴原方程表示两条直线. 答案:C
2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是( ) A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0 C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0 解析:|AB|==5.
∵S△ABC=|AB|·h=10,
∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4, 易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0. 设点C(x,y),则=h=4, ∴4x-3y+4=±20.故选B. 答案:B
3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为 .
解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.
故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.
答案:2
4.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).
2
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由△ABC是直角三角形可知|AB|=|AC|+|BC|,即(2a)=(x+a)+y+(x-a)+y,化简得x+y=a. 依题意可知,x≠±a.
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故所求直角顶点C的轨迹方程为x+y=a(x≠±a).
解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).
∵∠ACB=90°,
∴点C在以AB为直径的圆上.
∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2, 又∵C与A,B不重合, ∴x≠±a.
∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
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5.若直线y=kx+1与曲线mx+5y-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.
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解:将y=kx+1代入mx+5y-5m=0,
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得(m+5k)x+10kx+5(1-m)=0.
由题意得,该方程对k∈R总有实数解, ∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立. ∵m>0,
∴m≥1-5k2恒成立. ∵1-5k2≤1, ∴m≥1.
故m的取值范围是[1,+∞).
6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.
解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P是线段AB的中点, ∴
∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点, ∴y1=x1,y2=-x2, ∴
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又∵|AB|=2,∴(x1-x2)+(y1-y2)=12. ∴12y2+x2=12.
∴动点P的轨迹方程为+y2=1.
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人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
