此时P
9453的坐标为（15，10）
t?5295t?3或13时，
． 7分
（4） 当
OP与PQ相等． 9分
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
E C 图1
G
B
E C 图2 A
D
F G
B 图3
C E G
F A
D
o B
21
22
解：（1）正确． （1分）
D A 证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME． （2分）?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°．
QCF是外角平分线， ??DCF?45°， ??ECF?135°． ??AME??ECF．
Q?AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°，
??BAE??CEF．
?△AME≌△BCF（ASA）． （5分）
?AE?EF． （6分）
（2）正确． （7分）
证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN?CE，连接NE． （8分）
?BN?BE． ??N??PCE?45°．
Q四边形ABCD是正方形，
?AD∥BE． ??DAE??BEA．
??NAE??CEF．
?△ANE≌△ECF（ASA）． （10分） ?AE?EF． （11分）
23
M F B E C
G
N F A
D
B C E G
11
已知一个直角三角形纸片OAB，其中
?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，
折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
y C的坐标； （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点
B O A x （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，
y 试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
B
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标．
B y O A x
解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，O A 则△ACD≌△BCD.
24
x
设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2?OC2?OA2，
即?4?m?2?m2?22，解得
m?32.
?3??点C的坐标为??0，2??. 4分
（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?, 则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y， 则B?C?BC?OB?OC?4?y，
在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C2?OC2?OB?2.
??4?y?2?y2?x2， 即y??18x2?2
6分
由点B?在边OA上，有0≤x≤2，
? 解析式y??18x2?2?0≤x≤2?为所求. ? Q当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
3?y的取值范围为2≤y≤2.
7分
（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且则?OCB????CB??D.
又Q?CBD??CB??D，??OCB????CBD，有CB??∥BA. 25
B??D∥OB.
初一数学动点问题例题集
