8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点
E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?.
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x.
△PMN的形状是否发生改变？①当点N在线段AD上时（如图2），
若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
A E B
图1 A E B
D F C
B
A E P N
D F C B
A E P D N
F
C
M D F C
图4（备用）
图2
D
M
图3
（第25题） A
E B
图5（备用）
F C
16
解（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． 1分 ∵E为AB的中点， ∴
BE?1AB?2．2
B
A E D F C
图1
在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?． 2分 ∴
BG?1BE?1，EG?22?12?3．2
G
即点E到BC的距离为3． 3分
（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3． 同理MN?AB?4． 4分
如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?． ∴
PH?13PM?．22
B
A E P H
G M
图2
C
N
D F
3MH?PMgcos30??．2 ∴
NH?MN?MH?4?35?．22
则
2?5??3?22PN?NH?PH??????7．????2??2?在Rt△PNH中，
2∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4． 6分
△PMN的形状发生改变，②当点N在线段DC上运动时，但△MNC恒为等边三角形．
17
当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR．
3MR?．2 类似①，
∴MN?2MR?3． 7分
∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3． 此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2． 8分
A E B
P R
G
M
图3
C
B
G
图4
M
D N F
A E P D F N C
B
A E D F（P） N C
G
图5
M
当MP?MN时，如图4，这时MC?MN?MP?3．
此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．
当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?． 则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形． ∴MC?PMgtan30??1． 此时，x?EP?GM?6?1?1?4．
5?3x?2综上所述，当或4或时，△PMN为等腰三角形． 10
??分
9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发
18
沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
19
解：（1）Q（1，0） 1分
点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分
（2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，
OF?BE?4．
∴AF?10?4?6． 在Rt△AFB中，AB?
82?62?10
yD 3分 ACP过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点MH． ∵?ABC?90?,
AB?BC
∴△ABF≌△BCH．
FONQBEHGx∴BH?AF?6,CH?BF?8．
∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12．
∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴
APAMMP??ABAFBF．
?tAMMP??1068．
34AM?t，PM?t55． ∴
34PN?OM?10?t,ON?PM?t55． ∴
设△OPQ的面积为S（平方单位）
13473S??(10?t)(1?t)?5?t?t251010（0≤t≤10） ∴2 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
t??47102?(?3)10?476 ∵
a??310<0 ∴当
时， △OPQ的面积最大．
6分
20
初一数学动点问题例题集
