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第5章 振动和波动
5-1 一个弹簧振子m?0.5kg，k?50Nm，振幅A?0.04m，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；
(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）??k?m50?100.5(rads) (2) 设x?Acos(?t??)，则 当x=0.02m时，cos(?t??)?1/2,(3) 作旋转矢量图，可知：??? 5-2 弹簧振子的运动方程为x?0.04cos(0.7t?0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。 A=0.04(m)????0.7(rad/s)???0.3(rad)π2sin(?t??)??3/2，所以 解：
???2π?0.11(Hz)T?1??8.98(s) 5-3 证明：如图所示的振动系统的振动频率为 式中k1,k2分别为两个弹簧的劲度系数，m为物体的质量。习题5-3 图
解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向。设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为x10,弹簧2的伸长量为x20，则应有
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当物体运动到平衡位置的位移为x处时，弹簧1的伸长量就为x10?x，弹簧2的伸长量就为x20?x，所以物体所受的合外力为
d2x由牛顿第二定律得 m2??(k1?k2)x
dtd2x(k1?k2)x?0 即有 2?dtm上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 振动的频率为 ???2π?12πk1?k2 m5-4 如图所示，U形管直径为d，管内水银质量为m，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。 习题5-4 解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。右液面偏离原点为至x时，振动系统所受回复力为： πd2?g振动角频率 ?? 2m振动周期 T?2π2m 2πd?g5-5 如图所示，定滑轮半径为R，转动惯量为J，轻弹簧劲度系数为k，物体质量为m，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。
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解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。设平衡时弹簧伸长l0，有：mg?kl0 （1） 物体位于x位置时（以原点为重力势能零点）： 对上式两边求导：
从上式消去v，且将（1）式代入，得到 说明系统作简谐振动。振动周期为： 5-6 如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，定滑轮的半径为R、转动惯量为J，物体质量为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。 习题5-6 图 解：设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为x，速率为v，则振动系统的总机械能 式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得 于是 ??R2k
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振动和波动课后答案
