2020年苏教版选修2-2课后练习（21）
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 下面使用类比推理，得到正确结论的是( )
A. “若???3=???3，则??=??”类推出“若???0=???0，则??=??” B. “若(??+??)??=????+????，”类推出“(?????)??=?????????” C. “若(??+??)??=????+????”类推出“
??+????
=+(??≠0)”
??
??
????
D. “(????)??=????????”类推出“(??+??)??=????+????”
2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个小于 60°
3. 通过比较??=1，2，3，4，5，6时2??与??2的值的大小，猜想出2??与??2(??∈???)的大小关系，下
列猜想中正确的是( ) A. 当??≥1时，2??>??2 B. 当??≥3时，2??>??2 C. 当??≥4时，2??>??2 D. 当??≥5时，2??>??2
4. 用数学归纳法证明等式“(??+1)(??+2)…(??+??)=2??×1×3×……×(2???1)”时，第二步
“假设??=??(??∈???，且??≥1)时，等式成立，证明当??=??+1时等式也成立”的过程中，得到(??+2)(??+3)……(2??+2)=(??+1)(??+2)…(2???1)?2?????，其中A的表达式为( ) A. 2??+1 B. 2(2??+1) C. 2 D. 2??+2 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
5. 观察下列等式，根据其中规律，推测第n个等式为______．
13=12，
13+23=(1+2)2?32，
13+23+33=(1+2+3)2=62，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102．
……
6. 下列演绎推理中，推理不正确的是______．
①所有的金属都能导电．铁是金属，所以，铁能导电：
②无理数是无限小数，3是无限小数，所以，3是无理数； ③自然数是整数，?1是整数，所以，?1是自然数．
0
7. 已知结论“圆??2+??2=??2(??>0)上一点??(??0,??0)处切线方程为??2+
44
????
??0????2
=1”.类比圆的这个
结论得到关于椭圆
??2
+??2=1(??>??>0)在点??(??0,??0)的切线方程为______． ??2
3????
??+3
??2
8. 已知数列{????}中，??1=3，????+1=??
列{????}的通项公式????=______．
，??∈???.通过计算??2，??3，??4，??5的值，可以归纳出数
??+????+??
9. 设a，b是不相等的正数??=√√，??=√，则x，y的大小关系是______.(用“<”连接)
22
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10. 类比关于正三角形的结论“边长为a的正三角形内部任意一点到3条边的距离之和为定值√??(
2
正三角形的高)”，可以得到空间中的一个结论是______．
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-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：A中“若???3=???3，则??=??”类推出“若???0=???0，则??=??”，结论不正确； B中“若(??+??)??=????+????”类比出“(?????)??=?????????”，结论不正确； C中“若(??+??)??=????+????”类推出“
??+????
=??+??(??≠0)”，结论正确；
????
D中“(????)??=????????”类推出“(??+??)??=????+????”，结论不正确． 故选：C．
根据等式的基本性质，可以分析①中结论的真假； 根据等式的基本性质，可以分析②中结论的真假； 根据指数的运算性质，可以分析③中结论的真假； 根据对数的运算性质，可以分析④中结论的真假；
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键． 2.答案：B
解析：证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°， 故选：B．
根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．
本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题 3.答案：D
解析：解：当??=1时，2??=2，??2=1，故2??>??2， 当??=2时，2??=4，??2=4，故2??=??2， 当??=3时，2??=8，??2=9，故2????2， 当??=6时，2??=64，??2=36，故2??>??2， 由此归纳猜想得：当??≥5时，2??>??2， 故选：D．
题中给出了两个需要比较大小的式子，可先用??=1，2，3，4，5，6依次代入计算，并比较大小，观察规律，由此猜测出一个正确的结论即可．
本题主要考查了归纳、猜测的合情推理，归纳猜测时，关注前几个结论的一致性，是基础题． 4.答案：B
解析：解：假设??=??(??∈???，且??≥1)时，等式成立， 即(??+1)(??+2)…(??+??)=2??×1×3×……×(2???1)， 证明当??=??+1时等式也成立，得到
(??+2)(??+3)…(2??+2)=(??+2)…(2???1)?2???(2??+1)?2(??+1)
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=(??+1)(??+2)…(2???1)?(2??+1)?2???2(2??+1)， 故A=2(2??+1)． 故选：B．
取??=??+1时，需要出现归纳假设，因此要把最后的2??+2拆分为2(??+1)，把??+1拿到最前面，最后剩余2(2??+1)．
本题考查利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，关键是证题过程要利用归纳假设，注意分析??=??+1时的变形，是中档题．
5.答案：13+23+33+?…+??3=(1+2+3+?…+??)2=[
??(??+1)2
] 2
解析：解：观察所给的四个等式，可知，等号左边都是从1开始的自然数的立方和，且第几个等式，就是几个数相加，故第n个等式的左边应是n个数的立方和，等式的中间，给出的是从1开始的连续自然数的和的平方，且第几个等式，就是几个数相加得和的平方，故第n个等式中间应是n个数的和的平方，
综上所述，第n个式子为：13+23+33+?…+??3=(1+2+3+?…+??)2=[故答案为：13+23+33+?…+??3=(1+2+3+?…+??)2=[
??(??+1)2
]． 2
??(??+1)2
]， 2
观察所给的四个等式，从中总结归纳出一个一般性的结论，抓住所提供的结论中的规律，来推测出
一般情况下的结论即可．
本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题． 6.答案：②③
解析：解：对于①，大前提是：所有的金属都能导电，(正确) 小前提是：铁是金属，(正确) 结论是：铁能导电；(正确) 所以①正确；
对于②，大前提是：无理数是无限小数，(正确) 小前题是：3是无限小数，(正确) 结论是：3是无理数，(错误)；
所以②错误；
对于③，大前提是：自然数是整数，(正确) 小前提是：?1是整数，(正确) 结论是：?1是自然数，(错误) 所以③错误．
故答案为：②③．
根据演绎推理的过程，写出大前提，小前提和结论，再判断出命题的正误． 本题考查了演绎推理的应用问题，是基础题．
44
7.答案：??02+
????
??0????2
=1
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0
解析：解：类比过圆上一点的切线方程，圆??2+??2=??2(??>0)上一点??(??0,??0)处切线方程为??2+
????
??0????2=1，
可合情推理： 过椭圆
??2??
2+
??2??2
0
=1(??>??>0)在点??(??0,??0)的切线方程为：??2+
????
??0????2
=1．
0
故答案为：??2+
????
??0????2=1．
????
??0????20
由过圆??2+??2=??2上一点的切线方程为??2+
=1，类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用??0??
代??2，用??0??代??2，即可得．
本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论．
8.答案：??
解析：解：由??1=3，????+1=??当??=1时，??2=??当??=2时，??3=??当??=3时，??4=??当??=4时，??5=??
3??1
1+3
3
3????
??+3
，??∈???，
=
=， 3+32
3×
2
3
2
93
3??2
2
=3+3
=
+33
=1=3，
3
3
3??3
3+3
=， 1+34
3×
43
43??4
4
=3+3
+3=5，
3
3
由计算??2，??3，??4，??5的值，可以归纳出数列{????}的通项公式????=??， 故答案为：??． 由??1=3，????+1=??
3????
??+3
3
，分别计算出??2，??3，??4，??5的值，即可归纳出数列{????}的通项公式．
本题主要考查了数列的概念和简单的表示法以及数列的递推式，考查了归纳推理，是基础题． 9.答案：??
解析：解：∵??，??>0，且??≠??． ??2???2=
??+??+2√????4
?
??+??2
=
?(√???√??)2
2
<0，∴??2
∴??
故答案为：??
平方作差即可得出大小关系．
本题考查了不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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2020年苏教版高中数学选修2-2课后练习(21)(有答案解析)
