2024年中考数学六月考前最后一练：二次函数综合
1．如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，
2
y＝kx+n与y轴交于点C，过A点的直线l：与抛物线y＝﹣x+bx+c的另一个交点为
已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x+bx+c上一动点（不与合）．
（1）求抛物线和直线
2
2
D，
A、D重
l的解析式；
P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点形为平行四边形？若存在，求出点
M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边
M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：
，解得：，
y＝﹣x+3x+4；
2
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，
设点P坐标为（x，﹣x2
+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2
+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；
（3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2
+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y2
M﹣yP|＝5，即：|﹣x+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），
则点P坐标为（2+
，﹣3﹣
）或（2﹣
，﹣3+
）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（﹣
，2），
设点P坐标为（m，﹣m2
+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则
NC的中点即为PM中点，
即：﹣
＝
，2＝
，
解得：m＝0或﹣4（舍去0），故点P（﹣4，3）；故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣
）或（2﹣
，﹣3+
）或（4，﹣5）或（﹣
4，3）．
2．如图，在平面直角坐标系
xOy中，已知抛物线y＝ax﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A
C．
2
（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为（1）求此抛物线和直线
AB的解析式；
E，在射线EB上是否存在一点
M，过M作
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点
x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求
点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点并求△PAB面积的最大值．
解：（1）∵抛物线y＝ax2
﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，
∴
，
∴抛物线的解析式为y＝x2
﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴
，解得：
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2
﹣2x﹣3＝（x﹣1）2
﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点
M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
P的坐标，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2
﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2
+3a，
∴﹣a2
+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点
M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则设M（a，a﹣3），则N（a，a
2
﹣2a﹣3），
∴MN＝a2
﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2
﹣3a，∴a2
﹣3a＝2，解得：a＝，a＝
（舍去），
∴M（
，
），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
CE＝MN，
设P（m，m2
﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2
+3m，∴S△
PAB
＝S△
PGA+S△PGB
＝＝，
∴当m＝
时，△PAB面积的最大值是
，此时P点坐标为（
）．
﹣
＝
2024年中考数学六月考前最后一练：二次函数综合(附解析)
