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第一章 绪论
1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。
e*x*?x ?x*x*1而lnx的误差为e?lnx*??lnx*?lnx?e*
x*解：近似值x的相对误差为?=er?**进而有?(lnx*)??
2．设x的相对误差为2%，求x的相对误差。 解：设f(x)?x，则函数的条件数为Cp?|nnxf'(x)| f(x)又
f'(x)?nxn?1x?nxn?1|?n , ?Cp?|n又
?r((x*)n)?Cp??r(x*)
且er(x*)为2
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
*****出它们是几位有效数字：x1?1.1021,x2?0.031, x3?385.6, x4?56.430,x5?7?1.0. *解：x1?1.1021是五位有效数字； *x2?0.031是二位有效数字； *x3?385.6是四位有效数字； *x4?56.430是五位有效数字； *x5?7?1.0.是二位有效数字。
********4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x1?x2?x4,(2) x1x2x3,(3) x2/x4.
其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。
解：
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V?****43?R 3则何种函数的条件数为 又
?r(V*)?1
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故度量半径R时允许的相对误差限为?r(R*)?6．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?1?1?0.33 31783 （n=1,2,…） 100计算到Y100。若取783?27.982（5位有效数字），试问计算Y100将有多大误差？ 解：Yn?Yn?1?……
依次代入后，有Y100?Y0?100?即Y100?Y0?783，
若取783?27.982, ?Y100?Y0?27.982
1783 1001783 1001?Y100的误差限为?10?3。
227．求方程x?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。
解：x?56x?1?0，
故方程的根应为x1,2?28?783 故 x1?28?783?28?27.982?55.982
2?x1具有5位有效数字 x2具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求解
?N?1N1dx？ 21?x?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN 21?x设??arctan(N?1),??arctanN。 则tan??N?1,tan??N.
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm？ 解：正方形的面积函数为A(x)?x
22??(A*)?2A*?(x*).
当x*?100时，若?(A*)?1,
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则?(x*)?1?10?2 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm 10．设S?12gt，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，证明当t增加时S的2绝对误差增加，而相对误差却减少。
12gt,t?0 2当t*增加时，S*的绝对误差增加
解：
S?当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1 (n=1,2,…),
若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：
又又
y0?2?1.41
yn?10yn?1?1 y2?10y1?1
计算到y10时误差为
1?108，这个计算过程不稳定。 2612．计算f?(2?1)，取2????，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
113(3?22), , ， 99?702。 63(2?1)(3?22)解：设y?(x?1)， 若x?612，x*?1.4，则??x*???10?1。
21计算y值，则 6(2?1)若通过3若通过(3?22)计算y值，则
若通过1计算y值，则 3(3?22)通过1计算后得到的结果最好。 3(3?22)3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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13．f(x)?ln(x?x2?1),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(x?x2?1)??ln(x?计算，求对数时误差有多大？ 解
x2?1)
f(x)?ln(x?x2?1), ?f(30)?ln(30?899)
设u?899,y?f(30) 则u???????? 故
若改用等价公式
则f(30)??ln(30?899) 此时，
*第二章 插值法
1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：
则二次拉格朗日插值多项式为 2．给出f(x)?lnx的数值表 X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，
若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5?0.54?0.6
若采用二次插值法计算ln0.54时，
3．给全cosx,0?x?90的函数表，步长h?1??(1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0?x?90时， 令f(x)?cosx
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取x0?0,h?(11?? )???606018010800令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400 则x5400??2?90
当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为 插值余项为 又
在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播
过程。
?总误差界为
4．设为互异节点，求证： （1）
?xl(x)?xkjjj?0nnk (k?0,1,,n);
（2）证明
?(xj?0j?x)klj(x)?0 (k?0,1,,n);
（1） 令f(x)?x 若插值节点为xj,j?0,1,k,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)??xkjlj(x)。
j?0nf(n?1)(?)?n?1(x) 插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)?(n?1)!又
k?n,
又0?i?n 由上题结论可知 ?得证。
5设f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
2解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 =?f(a)x?bx?a?f(b) a?bx?a1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?xx6．在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使
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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
