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第一章 绪论
1.设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差。
e*x*?x ?x*x*1而lnx的误差为e?lnx*??lnx*?lnx?e*
x*解:近似值x的相对误差为?=er?**进而有?(lnx*)??
2.设x的相对误差为2%,求x的相对误差。 解:设f(x)?x,则函数的条件数为Cp?|nnxf'(x)| f(x)又
f'(x)?nxn?1x?nxn?1|?n , ?Cp?|n又
?r((x*)n)?Cp??r(x*)
且er(x*)为2
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
*****出它们是几位有效数字:x1?1.1021,x2?0.031, x3?385.6, x4?56.430,x5?7?1.0. *解:x1?1.1021是五位有效数字; *x2?0.031是二位有效数字; *x3?385.6是四位有效数字; *x4?56.430是五位有效数字; *x5?7?1.0.是二位有效数字。
********4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) x1?x2?x4,(2) x1x2x3,(3) x2/x4.
其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数。
解:
5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为V?****43?R 3则何种函数的条件数为 又
?r(V*)?1
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故度量半径R时允许的相对误差限为?r(R*)?6.设Y0?28,按递推公式Yn?Yn?1?1?1?0.33 31783 (n=1,2,…) 100计算到Y100。若取783?27.982(5位有效数字),试问计算Y100将有多大误差? 解:Yn?Yn?1?……
依次代入后,有Y100?Y0?100?即Y100?Y0?783,
若取783?27.982, ?Y100?Y0?27.982
1783 1001783 1001?Y100的误差限为?10?3。
227.求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有4位有效数字(783?27.982)。
解:x?56x?1?0,
故方程的根应为x1,2?28?783 故 x1?28?783?28?27.982?55.982
2?x1具有5位有效数字 x2具有5位有效数字
8.当N充分大时,怎样求解
?N?1N1dx? 21?x?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN 21?x设??arctan(N?1),??arctanN。 则tan??N?1,tan??N.
9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm? 解:正方形的面积函数为A(x)?x
22??(A*)?2A*?(x*).
当x*?100时,若?(A*)?1,
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则?(x*)?1?10?2 22故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面积误差不超过1cm 10.设S?12gt,假定g是准确的,而对t的测量有?0.1秒的误差,证明当t增加时S的2绝对误差增加,而相对误差却减少。
12gt,t?0 2当t*增加时,S*的绝对误差增加
解:
S?当t*增加时,?(t*)保持不变,则S*的相对误差减少。 11.序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1 (n=1,2,…),
若y0?2?1.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 解:
又又
y0?2?1.41
yn?10yn?1?1 y2?10y1?1
计算到y10时误差为
1?108,这个计算过程不稳定。 2612.计算f?(2?1),取2????,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
113(3?22), , , 99?702。 63(2?1)(3?22)解:设y?(x?1), 若x?612,x*?1.4,则??x*???10?1。
21计算y值,则 6(2?1)若通过3若通过(3?22)计算y值,则
若通过1计算y值,则 3(3?22)通过1计算后得到的结果最好。 3(3?22)3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
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13.f(x)?ln(x?x2?1),求f(30)的值。若开平方用6位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式。ln(x?x2?1)??ln(x?计算,求对数时误差有多大? 解
x2?1)
f(x)?ln(x?x2?1), ?f(30)?ln(30?899)
设u?899,y?f(30) 则u???????? 故
若改用等价公式
则f(30)??ln(30?899) 此时,
*第二章 插值法
1.当x?1,?1,2时,f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解:
则二次拉格朗日插值多项式为 2.给出f(x)?lnx的数值表 X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解:由表格知,
若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54), 则0.5?0.54?0.6
若采用二次插值法计算ln0.54时,
3.给全cosx,0?x?90的函数表,步长h?1??(1/60),若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解:求解cosx近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;另一方面,利用插值法求函数cosx的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0?x?90时, 令f(x)?cosx
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取x0?0,h?(11?? )???606018010800令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400 则x5400??2?90
当x??xk,xk?1?时,线性插值多项式为 插值余项为 又
在建立函数表时,表中数据具有5位有效数字,且cosx??0,1?,故计算中有误差传播
过程。
?总误差界为
4.设为互异节点,求证: (1)
?xl(x)?xkjjj?0nnk (k?0,1,,n);
(2)证明
?(xj?0j?x)klj(x)?0 (k?0,1,,n);
(1) 令f(x)?x 若插值节点为xj,j?0,1,k,n,则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)??xkjlj(x)。
j?0nf(n?1)(?)?n?1(x) 插值余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)?(n?1)!又
k?n,
又0?i?n 由上题结论可知 ?得证。
5设f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证:
2解:令x0?a,x1?b,以此为插值节点,则线性插值多项式为 =?f(a)x?bx?a?f(b) a?bx?a1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)?xx6.在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使
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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
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