5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法． 2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】
任意角三角函数的定义． 【教学难点】 单位圆及三角函数线． 【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解． 【教学过程】 环节 导 入 新 课 1. 任意角的三角函数定义． 复习锐角三角函数定义． 师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？ 问题1：当我们把锐角的概 说明三角函数定义的理论根据． 以旧引新． 教学内容 师生互动 设计意图 已知 ? 是任意角，P(x，y)， P?(x?，念推广为转角后，我们如何定义y?)是角? 的终边与两个半径不同的同心圆的交点． (r＝x2+y2 ， r'＝x'2+y'2 ) 如图所示： 当角 ? 不变时，对于角 ? 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 ? y P r P?’ r′ y y′ O x′ x x 任意角的三角函数呢？ 如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，?x ??x'? ＝ ，rr'?y ??y'??y ??y'? ＝ ， ＝ . rr'xx'由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同， xx'yy'yy'因此， ＝ ， ＝ ， ＝ ， rr'rr'xx' xyy所以三个比值 ， ， 只依rrx赖于 ? 的大小，与点 P 在 ? 终边上的位置无关． xy的终边上的位置如何，三个比值 ， ， rr .
新 课 y 始终等于定值．因此定义： xx角 ? 的余弦cos ? ＝ ； ry角 ? 的正弦sin ? ＝ ； ry角 ? 的正切tan ? ＝ ． x依照上述定义，对于每一个确定的角 ?，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角 ? 为自变量的函数，分别叫做角 ? 的余弦函数、正弦函数和正切函数． 2. 三角函数求值． 根据三角函数定义，可得计算三角函数值的步骤： S1 画角：在直角坐标系中，作转角等于α； S2 找点：在角α的终边上任找一点P，使?OP?＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标； S3 求值：根据相应三角函数的定义，求该角的三角函数值． 例1 已知角 ? 终边上一点 P(2，－3)，求角? 的三个三角函数值． 解 已知点 P（2，－3），则 r＝?OP?＝22＋（－3）2 ＝13 ， 由三角函数的定义，得 －3y313 sin ? ＝ ＝ ＝－ ； r1313 x2cos ? ＝ ＝ ＝213； r 13 13y3tan ? ＝ ＝－ ； x2 教师引领学生识记三角函数定义． 依据函数定义说明角 ? 与三角函数值的对应关系． 练习：在直角坐标系中，画出半径为１的圆，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值. 在例1中强调： （１）P为角α的终边上任意一 通过学生自己动手测量,加深学生对三角函数定义的理解,并为学习单位圆做铺垫. 强调这几点为练习B组第1、2、3做铺垫. 练习1 教材P138，练习A组第1、4、点； （２）求三角函数值时用到的三5题． 个量x，y，r以及三者的关系； .
新 课 例2 试确定三角函数在各象限的符号． 解 由三角函数的定义可知， ysin ?＝ ，角 ? 终边上点的纵坐r标 y 的正、负与角 ? 的正弦值同号； xcos ?＝ ，角 ? 终边上点的横坐r 教师可通过教材P138 练习A组第1题中的练习让学生自己总结出三角函数在各象限 通过练习1，熟练已知角的终边上一点求三角函数值的步骤． 由练习中的具体题目到例2的理论分析，由特殊到一般加深学生对三角函数符号的理解. 标 x 的正、负与角 ? 的余弦值同号； 的符号． y由tan ? ＝ ，则当 x 与 y 同号x 时，正切值为正，当 x 与 y 异号时，正切值为负． 三角函数在各象限的符号如下图所示： y y ＋ ＋ － ＋ O x O x － － － ＋ α sin cos α y － ＋ O x ＋ － tan α 练习2也可以用计算器直根据三角函数的定义，及各象限内点的坐标的符号得出三角函数在各象限的符号，教师总结口诀，帮助学生记忆： Ⅰ全正，Ⅱ正弦， Ⅲ正切，Ⅳ余弦． 练习2 确定下列各三角函数值的符号： 接求出三角函数值，然后确定符π4π(1)sin(－ )；(2)cos 130?；(3)tan ． 号． 43 例3 使用函数型计算器，计算下列三 角函数值： (1)sin67.5?， cos372?， tan (－86?)； 3π5π(2) sin1.2， cos ， tan ． 46 解 略． 3. 单位圆与三角函数线． 如图，以原点为圆心，半径为1的 圆称作单位圆． 师：在任意角三角函数的 y 定义中，当角 ? 的终边上一点 （x，y）的坐标满足r＝x2+y2 1 P(cos ?，sin ?) P ＝1时，三角函数的正弦、余弦? A(1，0) 会变成什么样呢？ O M x 看着图示，结合三角函数定 义讲解正弦线、余弦线、正切线 的由来． 设角 ? 的终边与单位圆的交点 为P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴， .
新 课 则 sin ?＝y，cos ?＝x， 即 P(cos ?，sin ?)． cos ?＝x＝OM；sin ?＝y＝MP． 于是我们把规定了方向的线段OM，MP分别称作角?的余弦线、正弦线． 练习3（1） 在直角坐标系的单位圆 学生自己动手，熟悉正弦线，余弦线的画法． 学生理解正切线难度较大，教师要详细讲解各个象限内的角的正切线的做法. π2 π中，分别画出 和－ 的正弦线、余 33 弦线． 设单位圆在点A的切线与角?的终 边或其反向延长线相交于点 T ( T ? ) ，学生自己动手，熟悉当角?则 在不同象限时正切线的画法． yATtan ?＝ ＝ ＝AT ( AT? )， xOA所以AT ( AT? )称作角α的正切线． 练习3 （2） 在直角坐标系的单位π2 π圆中，分别画出 和－ 的正切线． 33 小 结 回忆本节课所学知识点： (1)任意角三角函数的定义（代数表示）． (2)任意角三角函数值的求法（两种方法）． (3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）． (4)任意角三角函数的几何表示（三角函数线）． 让学生叙述本节所学知识点以及典型例题及解题步骤． 梳理知识脉络． 作 业
本节教材内容颇教材 P 138，练习A 组，练习B 组． 多，教师可根据当堂内容布置相应作业． .
高中数学任意角的三角函数的定义
