12 极坐标和参数方程
?x?coskt,(t为参数1.（2020?全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?k?y?sint)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
4?cos??16?sin??3?0．
（1）当k?1时，C1是什么曲线？
（2）当k?4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）(,).
【解析】（1）利用sin2t?cos2t?1消去参数t，求出曲线C1的普通方程，即可得出结论；
2??x?cost（2）当k?4时，x?0,y?0，曲线C1的参数方程化为?，两式相(t为参数）
2??y?sint1144加消去参数t，得C1普通方程，由?cos??x,?sin??y，将曲线C2化为直角坐标方程，联立C1,C2方程，即可求解.
【详解】（1）当k?1时，曲线C1的参数方程为??x?cost， (t为参数）
y?sint?两式平方相加得x2?y2?1，所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
?x?cos4t(t为参数）（2）当k?4时，曲线C1的参数方程为?， 4?y?sint2??x?cost所以x?0,y?0，曲线C1的参数方程化为?， (t为参数）
2??y?sint两式相加得曲线C1方程为x?得y?1，
y?1?x，平方得y?x?2x?1,0?x?1,0?y?1，
曲线C2的极坐标方程为4?cos??16?sin??3?0，曲线C2直角坐标方程为
4x?16y?3?0，
联立C1,C2方程??1?y?x?2x?1，整理得12x?32x?13?0，解得x?或
2??4x?16y?3?0x?13（舍去）， 61111?x?,y?，?C1,C2公共点的直角坐标为(,).
4444【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
?x?4cos2?，（θ为参数），2.（2020?全国2卷）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：?2y?4sin??1?x?t?,??t（t为参数）. C2：?1?y?t??t?（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）C1:x?y?4；C2:x2?y2?4；（2）??17cos?. 5【解析】（1）分别消去参数?和t即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由cos2??sin2??1得C1的普通方程为：x?y?4；
1??221x?t?x?t?2?2????tt由?得：?，两式作差可得C2的普通方程为：x2?y2?4.
?y2?t2?1?2?y?t?1??t2t??5?x???x?y?4??53?2P（2）由?2得：，即??,?；设所求圆圆心的直角坐标为?a,0?，其2?22??x?y?4?y?3?2?
中a?0，
17175??3?2?则?，解得：，所求圆的半径， a?r?a??0??a????10102??2??17??17?，即x2?y2?17x， 2?所求圆的直角坐标方程为：?x??y?????5?10??10??所求圆的极坐标方程为??222217cos?. 5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
?x?2?t?t2（t为参3.（2020?全国3卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?2?y?2?3t?t数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点． （1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． 【答案】（1）410（2）3?cos???sin??12?0
【解析】（1）由参数方程得出A,B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值； （2）由A,B的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令x?0，则t2?t?2?0，解得t??2或t?1（舍），则
y?2?6?4?12，即A(0,12).
令y?0，则t2?3t?2?0，解得t?2或t?1（舍），则x?2?2?4??4，即
B(?4,0).
?AB?(0?4)2?(12?0)2?410；
（2）由（1）可知kAB?12?0?3，
0?(?4)则直线AB的方程为y?3(x?4)，即3x?y?12?0.
由x??cos?,y??sin?可得，直线AB的极坐标方程为3?cos???sin??12?0.
2020全国卷高考专题：极坐标和参数方程
