2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题
一、填空题
1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6
【解析】将原问题转化为Venn图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】
如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
则有：
?a?b?c?x?14?b?d?e?x?10?， ?c?e?f?x?8???a?b?c?d?e?f?x?20即??a?2b?2c?d?2e?f?3x?32，
?a?b?c?d?e?f?x?20即b?c?e?2x?12，当b?c?e?0时，x的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】
本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax
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与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】x??2
x2y2【解析】将双曲线方程化为标准方程得2?2?1，抛物线的准线为x??2a，联立
a3a?x2y2??PF1?PF2?12?2?2?1，解得x?3a，即点P的横坐标为3a，而由?，解得?a3aPF?PF?2a?2?1?y2?8ax?PF2?6?a，∴PF2?3a?2a?6?a，解得a?1，∴抛物线的准线方程为x??2，
故答案为x??2.
22ab3．已知实数a，b满足??1，当acos??2bsin?取最大值时，
82tan??________.
【答案】1
【解析】根据辅助角公式可得：
22a?4bacos??2bsin??a?2bsin??????a?2b?2?2，
2进而可求得答案 【详解】
a2b2由??1得a2?4b2?8，
82利用辅助角公式可得：
22a?4bacos??2bsin??a?2bsin??????a?2b?2?2，
2其中tan?????a， ???0,?.
?2?2b所以最大值为2，当且仅当a?2b?2，sin??????1时成立， 此时tan??1，故??则??????sin??，所以???1，
4?4??4?2k?，k?Z，则tan??1，
故答案为：1. 【点睛】
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本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
4．已知等差数列?an?满足：a1?a5?8，则a1?a2的最大值为________.
22【答案】5
【解析】设等差数列?an?的公差为d，根据a1?a5?8，利用平方关系，设
22a1?22cos?,a5?22sin?，则a1?a2?再利用三角函数的性质求解. 【详解】
设等差数列?an?的公差为d， 因为a1?a5?8，
22722cos??sin??5sin?????，22由cos2??sin2??1，设a1?22cos?,a5?22sin?， 则a2?a1?d?a1?1322cos??sin?， ?a5?a1??422所以a1?a2?当????722cos??sin??5sin?????,tan??7， 22?2?2k?,k?Z时，a1?a2的最大值为5.
故答案为：5. 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数f?x???x?1?e?xa2xe?ax只有一个极值点，则实数a的取值范围为2________.
【答案】a?0或a?1 2【解析】首先对函数求导，观察得到f'(0)?0，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果. 【详解】
f?(x)?x?ex?ae2x?a，
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函数f?x???x?1?e?xa2xe?ax只有一个极值点， 2即f?(x)?x?e?aex2x?a?0只有1个实根，且在根的两侧异号，
可以求得f'(0)?0，
x?ex令f'(x)?0，得a?2x(x?0)，
e?1x?ex则设a?g(x)?2x(x?0)，
e?1(x?1)ex(e2x?1)?2e2x?xexex[(1?x)e2x?(x?1)]?求导g?(x)?，
(e2x?1)2(e2x?1)2设h(x)?(1?x)e2x?(x?1)，h'(x)??e2x?2(1?x)e2x?1?(1?2x)e2x?1，
2x设u(x)?h?(x)，u?(x)??2e?(2?4x)e2x??4xe2x，
可知当x?0时，u'(x)?0，x?0时，u'(x)?0，
所以h'(x)在(??,0)上单调增，在(0,??)上单调减，且h'(0)?0， 所以h'(x)?0恒成立，所以h(x)为减函数，且h(0)?0， 所以当x?0时，g'(x)?0，当x?0时，g'(x)?0， 所以g(x)在(??,0)上单调增，在(0,??)上单调减， 当x?0时，e2x?1,g(x)?0，当x?0时，e2x?1,g(x)?0
画出y?g(x)图象如图所示：
xex(x?1)ex1可以确定limg(x)?lim2x?lim?， 2xx?0x?0ex?0?12e2因为函数f?x???x?1?e?xa2xe?ax只有一个极值点，且f'(0)?0， 2x?ex所以要求a?2x(x?0)无解，
e?1所以a?0或a?1， 2第 4 页 共 23 页
故答案为：a?0或a?【点睛】
1. 2该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线定圆方程为 ． 【答案】
，三条直线分别为
，这三条
，若对任意
，直线与一定圆相切，则该
【解析】试题分析：取特殊值直线只与圆【考点】圆的切线.
都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.
x2y27．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?左焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一
abuuuruuur条渐近线垂直，直线l与双曲线的左支交于不同两点AB，若AF?2FB，则该双曲线
的离心率为________. 【答案】10 3【解析】由渐近线斜率设出直线l方程，与双曲线方程联立消去x得关于y的二次方程，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AF?2FB得y1??2y2，由韦达定理得y1?y2，y1y2，由此可得a,b,c的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】
不妨设直线l与渐近线y??uuuruuurbax垂直，即直线l方程为y?(x?c)，
baa?y?(x?c)22??b2bcy22by2222由?2，得b(??c)?ay?ab， 22aa?x?y?1??a2b2即c(b?a)y?2abcy?ab?0，
22223242ab3ca2b4设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?22①，y1y2?22②，
c(b?a2)c(b?a2)又AF?2FB，F(?c,0)，所以y1??2y2③，
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2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
