-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1
1．下列各式中，值为的是( )
2A．sin 15°cos 15° C.
tan 22.5°
2
1－tan22.5°
B．cosD.
2
π2π－sin 1212
1＋cos 30°
2
11
解析：sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；
24cos
2
ππ32π
－sin＝cos ＝； 121262
tan 22.5°11
＝tan 45°＝； 21－tan22.5°221＋cos 30°12
＝cos 15°≠. 22答案：C 2.
3－sin 70°
的值是( ) 2
2－cos10°
123A. B. C．2 D. 222
3－sin 70°2（3－cos 20°）解析：原式＝＝＝2.
13－cos 20°2－（1＋cos 20°）2答案：C
3.1－sin 24°等于( ) A.2cos 12°
C．cos 12°－sin 12°
2
B．2cos 12°
D．sin 12°－cos 12°
2
解析：1－sin 24°＝ sin 12°－2sin 12°cos12°＋cos12°＝ （sin 12°－cos 12°）＝
|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°. 答案：C
π?1?4．已知cos?α＋?＝，则sin 2α的值为( ) 4?4?
金戈铁制卷
2-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
7733A. B．－ C. D．－ 8844π?1?解析：因为cos?α＋?＝，
4?4?
π?π?????所以sin 2α＝－cos?2α＋?＝－cos?2?α＋??＝
2?4?????π?172?1－2cos?α＋?＝1－×2＝.
4?168?答案：A
1?π?2
5．若α∈?0，?，且sin α＋cos 2α＝，则tan α的值等于( )
2?4?A.
23
B. C.2 D.3 23
12
解析：因为sin α＋cos 2α＝，
4
12222
所以sin α＋cos α－sin α＝cos α＝ 41
所以cos α＝±.
2
?π?又α∈?0，?，
2??
13
所以cos α＝，sin α＝.所以tan α＝3.
22答案：D 二、填空题
ππ
6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝________．
88πππ2
解析：cos2－sin2＝cos ＝. 8842答案：
2 2
θθ23
7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．
223θθ23
解析：因为sin ＋cos ＝，
223θθ?4?所以?sin ＋cos ?＝， 22?3?
2
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
θθ41
即1＋2sin cos＝，所以sin θ＝，
2233
?1?7
所以cos 2θ＝1－2sin θ＝1－2×??＝.
?3?9
2
2
17答案：
39
?π?3
8．已知sin ?－x?＝，则sin 2x的值等于________．
?4?5?π?3?π?解析：法一：因为sin?－x?＝，所以cos ?－2x?＝
?4?5?2?
7?π??3?1－2sin?－x?＝1－2×??＝，
?4??5?25
2
2
?π?7
所以 sin 2x＝cos?－2x?＝.
?2?25
23?π?3
法二：由sin?－x?＝，得(sin x－cos x)＝－，
25?4?532
所以sin x－cos x＝－，两边平方得
518
1－sin 2x＝，
257
所以sin 2x＝. 257
答案：
25三、解答题 9．求证：
1
＝sin 2α.
1α4
－tan α2tan
2
cos2α＝ ααααcos sin cos2－sin2
2222－ααααsin cos sin cos
2222
cos2αcos2α证明：法一：左边＝
cos2αsin cos
22
＝＝ ααcos αcos2－sin2
22
cos2αsin cos 22
αααααα11
＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
2224
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
所以原式成立．
cos2αtan 2tan
212
法二：左边＝＝cos2α·＝
α2α1－tan21－tan2
22111
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边． 224所以原式成立．
π??10．已知函数f(x)＝3cos?2x－?－2sin xcos x.
3??(1)f(x)的最小正周期；
1?ππ?(2)求证：当x∈?－，?时，f(x)≥－. 2?44?(1)解：f(x)＝
33
cos 2x＋sin 2x－sin 2x 22
αα13
＝sin 2x＋cos 2x 22π??＝sin?2x＋?，
3??所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
ππ
(2)证明：因为－≤x≤，
44ππ5π
所以－≤2x＋≤，
636
π?1??π?所以sin?2x＋?≥sin ?－?＝－. 3?2??6?1?ππ?所以当x∈?－，?时，f(x)≥－. 2?44?
B级 能力提升
1．函数f(x)＝cos 2x＋4cos x (x∈R)的值域为( ) A．[－3，2] C．[－1，3]
2
B．[－2，3] D．[－3，5]
2
解析：f(x)＝2cosx＋4cos x－1＝2(cos x＋1)－3，由于cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－3，5]．
答案：D
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
cos 2α2
2．若＝－，则sin 2α＝________．
π?2?sin?α－?4??cos 2α解析： π??sin?α－?4??＝
2
（sin α－cos α）2
cosα－sinα2
2
＝－2(sin α＋cos α) ＝－
21?sin α＋cos α＝， 22
13平方得1＋sin 2α＝?sin 2α＝－.
443
答案：－
4
?π?3．已知α为锐角且tan?＋α?＝2. ?4?
(1)求tan α的值；
π??2sin?2α＋?cos α－sin α4??
(2)求的值．
cos 2α?π?解：(1)因为tan?＋α?＝2， ?4?
π
tan ＋tan α4
所以＝2，
π
1－tan tan α4即
1＋tan α＝2，
1－tan α1
解得tan α＝. 3
π??2sin?2α＋?cos α－sin α4??
(2)
cos 2α＝
cos α（sin 2α＋cos 2α）－sin α
cos 2α2
2cosα sin α＋cos 2αcos α－sin α＝
cos 2α金戈铁制卷
高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4 (2)
