-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1
1.下列各式中,值为的是( )
2A.sin 15°cos 15° C.
tan 22.5°
2
1-tan22.5°
B.cosD.
2
π2π-sin 1212
1+cos 30°
2
11
解析:sin 15°cos 15°=sin 30°=;
24cos
2
ππ32π
-sin=cos =; 121262
tan 22.5°11
=tan 45°=; 21-tan22.5°221+cos 30°12
=cos 15°≠. 22答案:C 2.
3-sin 70°
的值是( ) 2
2-cos10°
123A. B. C.2 D. 222
3-sin 70°2(3-cos 20°)解析:原式===2.
13-cos 20°2-(1+cos 20°)2答案:C
3.1-sin 24°等于( ) A.2cos 12°
C.cos 12°-sin 12°
2
B.2cos 12°
D.sin 12°-cos 12°
2
解析:1-sin 24°= sin 12°-2sin 12°cos12°+cos12°= (sin 12°-cos 12°)=
|sin 12°-cos 12°|=cos 12°-sin 12°. 答案:C
π?1?4.已知cos?α+?=,则sin 2α的值为( ) 4?4?
金戈铁制卷
2-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
7733A. B.- C. D.- 8844π?1?解析:因为cos?α+?=,
4?4?
π?π?????所以sin 2α=-cos?2α+?=-cos?2?α+??=
2?4?????π?172?1-2cos?α+?=1-×2=.
4?168?答案:A
1?π?2
5.若α∈?0,?,且sin α+cos 2α=,则tan α的值等于( )
2?4?A.
23
B. C.2 D.3 23
12
解析:因为sin α+cos 2α=,
4
12222
所以sin α+cos α-sin α=cos α= 41
所以cos α=±.
2
?π?又α∈?0,?,
2??
13
所以cos α=,sin α=.所以tan α=3.
22答案:D 二、填空题
ππ
6.(2016·四川卷)cos2-sin2=________.
88πππ2
解析:cos2-sin2=cos =. 8842答案:
2 2
θθ23
7.已知sin +cos =,那么sin θ=________,cos 2θ=________.
223θθ23
解析:因为sin +cos =,
223θθ?4?所以?sin +cos ?=, 22?3?
2
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
θθ41
即1+2sin cos=,所以sin θ=,
2233
?1?7
所以cos 2θ=1-2sin θ=1-2×??=.
?3?9
2
2
17答案:
39
?π?3
8.已知sin ?-x?=,则sin 2x的值等于________.
?4?5?π?3?π?解析:法一:因为sin?-x?=,所以cos ?-2x?=
?4?5?2?
7?π??3?1-2sin?-x?=1-2×??=,
?4??5?25
2
2
?π?7
所以 sin 2x=cos?-2x?=.
?2?25
23?π?3
法二:由sin?-x?=,得(sin x-cos x)=-,
25?4?532
所以sin x-cos x=-,两边平方得
518
1-sin 2x=,
257
所以sin 2x=. 257
答案:
25三、解答题 9.求证:
1
=sin 2α.
1α4
-tan α2tan
2
cos2α= ααααcos sin cos2-sin2
2222-ααααsin cos sin cos
2222
cos2αcos2α证明:法一:左边=
cos2αsin cos
22
== ααcos αcos2-sin2
22
cos2αsin cos 22
αααααα11
=sin cos cos α=sin αcos α=sin 2α=右边.
2224
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
所以原式成立.
cos2αtan 2tan
212
法二:左边==cos2α·=
α2α1-tan21-tan2
22111
cos2α·tan α=cos αsin α=sin 2α=右边. 224所以原式成立.
π??10.已知函数f(x)=3cos?2x-?-2sin xcos x.
3??(1)f(x)的最小正周期;
1?ππ?(2)求证:当x∈?-,?时,f(x)≥-. 2?44?(1)解:f(x)=
33
cos 2x+sin 2x-sin 2x 22
αα13
=sin 2x+cos 2x 22π??=sin?2x+?,
3??所以f(x)的最小正周期T=
2π
=π. 2
ππ
(2)证明:因为-≤x≤,
44ππ5π
所以-≤2x+≤,
636
π?1??π?所以sin?2x+?≥sin ?-?=-. 3?2??6?1?ππ?所以当x∈?-,?时,f(x)≥-. 2?44?
B级 能力提升
1.函数f(x)=cos 2x+4cos x (x∈R)的值域为( ) A.[-3,2] C.[-1,3]
2
B.[-2,3] D.[-3,5]
2
解析:f(x)=2cosx+4cos x-1=2(cos x+1)-3,由于cos x∈[-1,1],故f(x)∈[-3,5].
答案:D
金戈铁制卷
-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------
cos 2α2
2.若=-,则sin 2α=________.
π?2?sin?α-?4??cos 2α解析: π??sin?α-?4??=
2
(sin α-cos α)2
cosα-sinα2
2
=-2(sin α+cos α) =-
21?sin α+cos α=, 22
13平方得1+sin 2α=?sin 2α=-.
443
答案:-
4
?π?3.已知α为锐角且tan?+α?=2. ?4?
(1)求tan α的值;
π??2sin?2α+?cos α-sin α4??
(2)求的值.
cos 2α?π?解:(1)因为tan?+α?=2, ?4?
π
tan +tan α4
所以=2,
π
1-tan tan α4即
1+tan α=2,
1-tan α1
解得tan α=. 3
π??2sin?2α+?cos α-sin α4??
(2)
cos 2α=
cos α(sin 2α+cos 2α)-sin α
cos 2α2
2cosα sin α+cos 2αcos α-sin α=
cos 2α金戈铁制卷
高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学案 新人教A版必修4 (2)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)