【方法综述】
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现nf?x??xf??x?形式，构造函数F?x??xf?x?；出现xf??x??nf?x?形式，构造函数F?x??nf?x?；出现f??x??nf?x?形nxf?x?． enx式，构造函数F?x??ef?x?；出现f??x??nf?x?形式，构造函数F?x??nx【解答策略】
类型一、利用f?x?进行抽象函数构造 1．利用f?x?与x（xn）构造 常用构造形式有xf?x?，
f?x?u；这类形式是对u?v，型函数导数计算的推广及应用，我们对u?v，xvuu的导函数观察可得知，u?v型导函数中体现的是“?”法，型导函数中体现的是“?”法，由此，我们可vv以猜测，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造u?v型，当导函数形式出现的是“?”法形式时，优先考虑构造
u． v是定义在上的可导偶函数，若当
时，
例1.【2019届高三第二次全国大联考】设
，则函数
A．0 C．2 【答案】A 【解析】 设
，因为函数
的零点个数为 B．1 D．0或2
为偶函数，所以
．由已知，
也是上的偶函数，所以时，
时，
，
1
，可得当
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故函数
在
上单调递减，由偶函数的性质可得函数，所以方程
选A． 【指点迷津】设在
，当
时，
，可得当
时，
，故函数
，即
在
上单调递增．所以
没有零点．故
无解，所以函数
上单调递减，从而求出函数的零点的个数．
的定义域是
，其导函数为
，若
【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】
，且
A．C．当【答案】C 【解析】 设
，则
时，
取得极大值
（其中是自然对数的底数），则
B．D．当
时，
则又即即
，
由由则
得得，即，即
当即当
时，，得，所以
，得，得，则，则
取得极小值
，即
，即
，故错误
，此时函数，此时函数
为增函数
为减函数
，故错误 ，故错误
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2
当此时
本题正确选项： 2．利用f?x?与ex构造
时，
取得极小值，则
取得极大值
uf?x?与ex构造，一方面是对u?v，函数形式的考察，另外一方面是对?ex???ex的考察．所以对于
vf?x??f??x?类型，我们可以等同xf?x?，
“?”法优先考虑构造F?x??f?x?x的类型处理， “?”法优先考虑构造F?x??f?x??e， xf?x?． xe是函数，若不等式
的导函数，且对任意的实数都
的解集中恰有两个整
例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知有
是自然对数的底数），
数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】
令可设∵
，则
， ，∴
．
，
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3
∴∴可得：函数
时，函数取得极小值． ，
∴
，
时，不等式
，故选C． ，可得
，可设
，
，解得
，
，
．
，
．
取得极大值，，
． 时，
的解集中恰有两个整数
故的取值范围是【指点迷津】令
，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．
【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数实数x，都有（ ）
，当
时
，若
是定义在上的可导函数，对于任意的
，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 令又从而因此
3．利用f?x?与sinx，cosx构造
等价于
选B.
，则当
时，
，所以
，
为偶函数，
，
sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式． F?x??f?x?sinx，F??x??f??x?sinx?f?x?cosx；
F?x??f?x?f??x?sinx?f?x?cosx，F??x??； 2sinxsinx原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
F?x??f?x?cosx，F??x??f??x?cosx?f?x?sinx；
f?x?f??x?cosx?f?x?sinx?F?x??，F?x??．
cosxcos2x例3、已知函数y?f?x?对于任意x???????,?满足f??x?cosx?f?x?sinx?0（其中f??x?是函数22??，则下列不等式不成立的是（ ） f?x?的导函数）A．2f????????????? B．2f??f?f????????
334???4???????????2f?? D．f?0??2f?? ?4??3?C．f?0??【答案】B
【指点迷津】满足“f??x?cosx?f?x?sinx?0”形式，优先构造F?x??和数形结合求解即可．注意选项的转化． 类型二 构造具体函数关系式
f?x?，然后利用函数的单调性cosx这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数 例4、?，????????,?，且?sin???sin??0，则下列结论正确的是（ ） 22??22A．??? B．??? C．??? D．????0 【答案】B
【解析】构造f?x??xsinx形式，则f??x??sinx?xcosx，x??0,???时导函数f??x??0，f?x?单??2?5
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专题6.1 导数中的构造函数-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(
