2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5：数列
一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知数列
43a?a?0,a??,则?an?的前10项和等于满足a?n?n?1n23（ ）
-10A．-61-3
??B．
11-3-10? ?9-10C．31-3
??-10D．31+3
??【答案】C
2 ．（2013年高考安徽（文））设Sn为等差数列
?an?的前n项和,S8?4a3,a7??2,则a9=
C．?2
D．2
（ ）
A．?6
【答案】A
B．?4
3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设首项为1,公比为
2的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 （ ） 3D．Sn?3?2an
A．Sn?2an?1
【答案】D
B．Sn?3an?2 C．Sn?4?3an
4 ．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差d?0的等差数列
?an?的四个命题:
p2:数列?nan?是递增数列； p1:数列?an?是递增数列；?a? p4:数列?an?3nd?是递增数列； p3:数列?n?是递增数列；?n?其中的真命题为 A．p1,p2
【答案】D 二、填空题
5 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、a、b、c、9成等差数列,则c?a?____________.
【答案】
（ ）
B．p3,p4
C．p2,p3
D．p1,p4
7 2
6 ．（2013年高考北京卷（文））若等比数列
?an?满足a2?a4?20,a3?a5?40,则公比q=__________;前n项
Sn=_____.
【答案】2,2n?1?2
7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{an}是首项为1,公比为?2的等比数列,则a1?|a2【答案】15
|?a3?|a4|?________
8 ．（2013年高考江西卷（文））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是
前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________.
【答案】6
9 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知等比数列
?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和,若a1，a3是方程
x2?5x?4?0的两个根,则S6?____________.
【答案】63
10．（2013年高考陕西卷（文））观察下列等式:
(1?1)?2?1(2?1)(2?2)?22?1?3(3?1)(3?2)(3?3)?23?1?3?5
照此规律, 第n个等式可为________.
【答案】(n?1)(n?2)(n?3)?(n?n)?211．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列
【答案】15 三、解答题
12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{an}的公差dn?1?3?5??(2n?1)
?an?中,若a1?a2?a3?a4?30,则a2?a3?_________.
?1,前n项和为Sn.
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1; (2)若S5?a1a9,求a1的取值范围.
【答案】解:(1)因为数列{an}的公差d?1,且1,a1,a3成等比数列, 所以a12?1?(a1?2),
即a12?a1?2?0,解得a1??1或a1?2.
(2)因为数列{an}的公差d?1,且S5?a1a9, 所以5a1?10?a12?8a1; 即a12?3a1?10?0,解得?5?a1?2
13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列
?an?中,a7?4,a19?2a9,
(I)求?an?的通项公式; (II)设bn?1,求数列?bn?的前n项和Sn. nan【答案】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则an?a1?(n?1)d
a1?6d?4?a7?4?1因为?,所以?. 解得,a1?1,d?.
2?a19?2a9?a1?18d?2(a1?8d)所以{an}的通项公式为an?(Ⅱ)bn?n?1. 22222222n1222)????, 所以Sn?(?)?(?)???(?.
1223nn?1n?1nann(n?1)nn?114．（2013年高考湖北卷（文））已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2?a3?a4??18.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数n,使得Sn?2013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,则a1?0,q?0. 由题意得
232??S2?S4?S3?S2,??a1q?a1q?a1q, 即 ? ?2a?a?a??18,aq(1?q?q)??18,?34?2?1?a?3,解得?1 故数列{an}的通项公式为an?3(?2)n?1.
?q??2.3?[1?(?2)n]?1?(?2)n. (Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn?1?(?2)若存在n,使得Sn?2013,则1?(?2)n?2013,即(?2)n??2012. 当n为偶数时,(?2)n?0, 上式不成立;
当n为奇数时,(?2)n??2n??2012,即2n?2012,则n?11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{nn?2k?1,k?N,k?5}.
15．（2013年高考湖南（文））设Sn为数列{an}的前项和,已知a1?0,2an?a1?S1?Sn,n?N?
(Ⅰ)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.
【答案】解: (Ⅰ) ?S1?a1.?当n?1时，2a1?a1?S1?S1?a1?0,a1?1.
2an?a12an?1?a1??2an?2an?1?an?2an?1- S1S1当n?1时，an?sn?sn?1??{an}时首项为a1?1公比为q?2的等比数列，an?2n?1,n?N*.
(Ⅱ)设Tn?1?a1?2?a2?3?a3???n?an?qTn?1?qa1?2?qa2?3?qa3???n?qan
?qTn?1?a2?2?a3?3?a4???n?an?1
上式左右错位相减:
(1?q)Tn?a1?a2?a3???an?nan?1?Tn?(n?1)?2n?1,n?N*.
1?qn?a1?nan?1?2n?1?n?2n
1?q16．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)
设数列?an?满足:a1?1,an?1?3an,n?N?. (Ⅰ)求?an?的通项公式及前n项和Sn;zhangwlx
(Ⅱ)已知?bn?是等差数列,Tn为前n项和,且b1?a2,b3?a1?a2?a3,求T20.
【答案】
17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为
3的等比数列{an}的前n项和为Sn(n?N*), 且?2S2,S3,4S4成等2差数列.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明Sn?【答案】
113?(n?N*). Sn6
18．（2013年高考北京卷（文））本小题共13分)给定数列a1，a2，?，an.对i?1,2,?,n?1,该数列前i项的
最大值记为Ai,后n?i项ai?1，ai?2，?，an的最小值记为Bi,di?Ai?Bi.[来源:学科网ZXXK] (Ⅰ)设数列?an?为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;
(Ⅱ)设a1，a2，?，an(n?4)是公比大于1的等比数列,且a1?0.证明:
d1,d2,,dn?1是等比数列;
(Ⅲ)设d1,d2,,dn?1是公差大于0的等差数列,且d1?0,证明:a1,a2,,an?1是等差数列
【答案】解:(I)d1?2,d2?3,d3?6.
(II)因为a1?0,公比q?1,所以a1，a2，?，an是递增数列. 因此,对i?1,2,?,n?1,Ai?ai,Bi?ai?1.
于是对i?1,2,?,n?1,di?Ai?Bi?ai?ai?1?a1(1?q)qi?1. 因此di?0且
di?1?q(i?1,2,?,n?2),即d1,d2,,dn?1是等比数列. di(III)设d为d1,d2,,dn?1的公差.
对1?i?n?2,因为Bi?Bi?1,d?0,所以Ai?1?Bi?1?di?1?Bi?di?d?Bi?di=Ai. 又因为Ai?1?max?Ai,ai?1?,所以ai?1?Ai?1?Ai?ai.
从而a1，a2，?，an?1是递增数列,因此Ai?ai(i?1,2,?,n?2). 又因为B1?A1?d1?a1?d1?a1,所以B1?a1?a2???an?1. 因此an?B1. 所以B1?B2???Bn?1?an. 所以ai?Ai=Bi?di?an?di.
因此对i?1,2,?,n?2都有ai?1?ai?di?1?di?d,即a1,a2,,an?1是等差数列.
19．（2013年高考山东卷（文））设等差数列?an?的前n项和为Sn,且S4?4S2,a2n?2an?1
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式 (Ⅱ)设数列?bn?满足
【答案】
bb1b21??????n?1?n,n?N* ,求?bn?的前n项和Tn a1a2an2
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