2024届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研测试数学试题(解析版)

由天下分享时间：2024/11/25 8:34:44 加入收藏我要投稿点赞

2024届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研测

试数学试题

一、填空题

1．已知集合A＝??1，0，2?，B＝{?1，1，2}，则A∩B=________. 【答案】??1,2?

【解析】根据交集的定义求解即可【详解】

由题,A?B???1,2?, 故答案为：??1,2? 【点睛】

本题考查交集的运算,属于基础题

2．已知复数z满足?1? i? z＝2i，其中i 是虚数单位，则z的模为_______. 【答案】2

【解析】利用复数的除法法则可得z?1?i,进而求得模即可【详解】由题,z?2i?1?i?2i2i?2???1?i, 1?i?1?i??1?i?22, 所以z?12?12?故答案为：2 【点睛】

本题考查复数的模,考查复数除法法则的应用,属于基础题

3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为_______. 【答案】40

【解析】根据平均数的公式计算即可【详解】

由题,则平均值为??35?35?41?38?51??40,

15第 1 页共 17 页

故答案为：40 【点睛】

本题考查求平均数,考查运算能力,属于基础题 4．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为_______.

【答案】11

【解析】根据已知中的语句可知,该程序的功能是循环计算a,i并输出满足条件的a的值,模拟程序的运行过程,即可得答案【详解】

当a?1时,i?1?4,

则a?1?1?2,i?1?1?2?4, 则a?2?2?4,i?2?1?3?4, 则a?4?3?7,i?3?1?4?4, 则a?7?4?11,i?4?1?5?i, 所以输出a?11, 故答案为：11 【点睛】

本题考查循环结构和算法语句,当程序的运行次数不多时,采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可

5．已知等差数列?an?的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则【答案】1

【解析】由等比中项可得a2?a1?a4,再根据等差数列?an?可得

2a1的值为_____. d?a1?d?2?a1?a1?3d?,即可求得a1与d的关系

【详解】

由d?0的等差数列?an?,

第 2 页共 17 页

因为a1,a2,a4成等比数列,则a2?a1?a4,即?a1?d??a1?a1?3d?,

22可得a1?d,则故答案为：1 【点睛】

?1, d

本题考查等差数列定义的应用,考查等比中项的应用,属于基础题

6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为______. 3【答案】

8【解析】先求得正面向上的概率,再求得恰好出现2次正面向上的概率即可【详解】

设“正面向上”为事件A,则P?A??111,则PA?1??, 222??23?1??1?3所以恰好出现2次正面向上的概率为P?C??????, ?2??2?83故答案为：

82【点睛】

本题考查独立重复试验求概率,属于基础题

AA1＝AB＝2 ，7．在正三棱柱ABC ? A1B1C1 中，则三枝锥A1 ? BB1C1 的体积为______. 【答案】23 3【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则VA1?BB1C1?VB?A1B1C1,进而求解即可【详解】

因为正三棱柱ABC?A1B1C1,则BB1?底面A1B1C1,△A1B1C1是等边三角形又因为AA1?AB?2,则三棱柱各棱长均为2, 则VA1?BB1C1?VB?A1B1C1?1?1223?, ???2?sin60???2?3?23?故答案为：【点睛】

23 3本题考查三棱锥的体积的计算,考查正三棱柱的性质应用,考查转化思想

第 3 页共 17 页

????f(x)?sin?x?8．已如函数??(??0).若当x＝6时，函数f ?x?取得最大值，则?

3??的最小值为______. 【答案】5 【解析】根据当x??6能取到最大值可得

?6???3??2?2k??k?Z?,则

??5?12k?k?Z?,由??0,对k赋值,即可求解

【详解】由题,

?6???3??2?2k??k?Z?,即??5?12k?k?Z?,

因为??0,则当k?0时,??5, 故答案为：5 【点睛】

本题考查正弦型函数对称性的应用,属于基础题

9．已知函数f?x?＝?m?2?x2??m?8?x?m?R ?是奇函数.若对于任意的x?R，关于x的不等式f?x2?1??f?a?恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】a?1

【解析】先由奇函数可得m?2,代回解析式则可判断函数单调递减,进而可将

f?x2?1??f?a?恒成立转化为x2?1?a恒成立,从而求解即可

【详解】

因为f?x?是奇函数, 所以

f??x??f?x???m?2?x2??m?8?x??m?2?x2??m?8?x?2?m?2?x2?0,

则m?2, 所以f?x???6x,

所以f?x?在R上单调递减,

2因为fx?1?f?a?恒成立,所以x2?1?a恒成立,则a?x?12????min?1,

故答案为：a?1 【点睛】

本题考查已知函数奇偶性求参数,考查利用函数单调性解不等式恒成立问题

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C : x2?y 2＝1的两条渐近线

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上，且双曲线C经过线段AB的中点.若点 A 的横坐标为2，则点B的横坐标为______. 【答案】

1 2【解析】先得到渐近线方程为y??x,则可设A为?2,?2?,B?x,x?,AB的中点为

?2?x?2?x?,??,再将中点坐标代入双曲线C中,解得x即为所求

2??2【详解】

由题,双曲线C的渐近线方程为：y??x,

因为点A的横坐标为2,则设A为?2,?2?,B?x,x?,

?2?x?2?x?,则AB的中点为??,

2??21?2?x???2?x?,, x?所以?解得??1???2?2??2?则点B的横坐标为故答案为：【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查中点公式的应用

11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8 ?1.5M . 2008年5月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是2024年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的______倍. 【答案】1000

【解析】由题意分别求得M?6和8时的能量E,进而求得能量的比【详解】

由题,当M?8时,lgE?4.8?1.5?8,则E?1016.8；当M?6时,lgE?4.8?1.5?6?13.8,则E?1013.8,

221, 21 21016.8所以13.8?103?1000,

10故答案为：1000 【点睛】

本题考查对数的运算性质的应用,考查阅读分析能力

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uuuvuuuv12．已知△ABC 的面积3，且AB＝AC .若CD?2DA,则BD的最小值为______.

【答案】

43 3【解析】由题可设AD?x,则AB?AC?3x,利用余弦定理可得

BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cosA?10x2?6x2?cosA,再根据三角形面积公式可

得S?1124AB?AC?sinA??3x?3x?sinA?3,则sinA?2,进而cosA?1?4,223x9x则BD2为关于x的函数,利用换元法和导函数求得最值即可【详解】

由题,设AD?x,则AB?AC?3x, 所以

BD2?AB2?AD2?2AB?AD?cosA??3x??x2?2?3x?x?cosA?10x2?6x2?cosA, 因为S?2112AB?AC?sinA??3x?3x?sinA?3,所以sinA?2??0,1?, 223x4, 49x因为大边对大角,所以令A为锐角,则cosA?1?2?42?24t?xt?所以BD?10x?6x?1?4?10x?29x?4,设??,

3??9x222则f?t??10t?29t2?4, 所以f??t??10?18t9t2?4,令f??t??0,则t?5?25?,则f(t)在?,?上单调递减,在6?36??5??,???上单调递增, ?6?所以f?t?min516?5??5??f???10??29????4?,

63?6??6?1643, ?332所以BDmin?故答案为：【点睛】

43 3第 6 页共 17 页

本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查利用导函数求最值,考查运算能力 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ? y 2＝8与圆C2 : x2?y 2?2x?y?a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为______.

【答案】8,8?25,8?25

【解析】先求得直线AB为：2x?y?8?a?0,再分别讨论?PAB?90?或

???PBA?90?和?APB?90?的情况,根据几何性质求解即可

【详解】

由题,则直线AB为：2x?y?8?a?0,

当?PAB?90?或?PBA?90?时,设C1到AB的距离为d, 因为△ABP等腰直角三角形, 所以d?11AB,即d?8?d2,所以d?2, 222所以8?a2?12?d?2,解得a?8?25, 当?APB?90?时,AB经过圆心C1,则8?a?0,即a?8, 故答案为：8,8?25,8?25 【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想

???x?1?1,x?0?14．已知函数f(x)??x，若关于x的方程f 2?x??2af ?x??1?a2＝0有五个

,x?0??x?1不相等的实数根，则实数a的取值范围是___. 【答案】?1,1?3

【解析】画出图像,令t?f?x?,由5个不相等的实根可得t1??0,1?,t2??1,???,则可列出不得关系,进而求得参数范围即可【详解】

由题,画出f?x?的图像,

??第 7 页共 17 页

设t?f?x?,则方程t2?2at?1?a2?0有5个不相等的实根, 由图可得,t1??0,1?,t2??1,???,

2??1?a?0,解得?1?a?1?3, 所以?21?2a?1?a?0??故答案为：?1,1?3 【点睛】

本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想

二、解答题

15．如图，在三棱锥P ? ABC 中，PA?平面ABC，PC ? AB，D，E分别为BC，AC的中点.求证:

(1) AB / /平面PDE ; (2)平面PAB?平面PAC .

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】（1）根据中位线的性质可得AB//DE,进而得证；（2）先证得AB?平面PAC,进而得证【详解】

证明：（1）QD,E分别为BC,AC的中点,

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?AB//DE,

QDE?平面PDE,AB?平面PDE,

?AB//平面PDE

（2）QPA?平面ABC,ABì平面ABC,

?PA?AB,

QPC?AB,PAIPC?P,PA,PC?平面PAC, ?AB?平面PAC,

?平面PAB?平面PAC

【点睛】

本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力 16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝－(1)求sin A的值； (2)求BA·BC的值. 【答案】（1）1. 4uuuvuuuv3315；（2）?

21615,再根据正弦定理求得sinA即可； 4【解析】（1）先求得sinB?（2）根据余弦定理解得AB?2,再由数量积的定义求解即可【详解】（1）QcosB??1, 4?sinB?15, 434?BCAC?,即sinA根据正弦定理可得,15, sinAsinB4?sinA?315 16（2）根据余弦定理可得,AC2?AB2?BC2?2AB?AC?cosB, 即4?AB?3?2223AB,解得AB?2, 2第 9 页共 17 页

uuuruuur3?1??BA?BC?BA?BC?cosB?2?3??????

2?4?【点睛】

本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力

x2y217．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E :2?2?1(a?b?0)的焦距为4，两

ab条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点.

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)已知图中四边形ABCD 是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P .①若M，N分别是BC，CD的中点，证明:点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明:

BM为定值，并求出该定值. CNx2y2【答案】(1) ??1；(2)①证明见解析；②证明见解析

84?2c?4?【解析】（1）由?2a2求得a,c,进而求得椭圆的方程；

?8??c（2）①分别求得M,N坐标,再求得直线AM与直线BN方程,即可求得交点坐标,进而得证；②分别设直线AP的方程为y?k1x?22???k?0?,直线BP的方程为

1yMBM??2k1k2,利用斜y?k2x?22?k2?0?,求得点M,N坐标,则CNxN?22??率公式求证即可【详解】

?2c?4??c?2?2,则?,所以b2?a2?c2?4, （1）由题,?2a?8??a?22??c第 10 页共 17 页

x2y2所以椭圆E的标准方程为：??1

84（2）证明：①由（1）可得A?22,0,B22,0, 因为BC?4,且四边形ABCD是矩形, 所以C22,4,D?22,4, 因为点M,N分别是BC,CD的中点, 所以M22,2,N?0,4?, 则直线AM为：??????????x?22y?0,即x?22y?22?0, ?2?022?22直线BN为：x?0y?4?,即2x?2y?42?0, 0?422?0?62x????628??x?22y?22?0?5P,?,解得?,即? 所以???558????y??2x?2y?42?0?5??62??8?2??, 因为?5???+?5?=184所以点P在椭圆E上

②设直线AP的方程为y?k1x?22令x?22,得yM?42k1, 设直线BP的方程为y?k2x?22令y?4,得xN?22?2???k?0?,

1???k2?0?,

4, k2yMBM???2k1k2, CNxN?22x02y02设P?x0,y0??x0?0,y0?0?,则??1,

8418?x02??y?0y?0y1?k1k2?0?0?20?22??,

x0?82x0?22x0?22x0?82第 11 页共 17 页

?BM2 ?CN2【点睛】

本题考查由几何性质求椭圆的方程,考查椭圆的定值问题,考查运算能力与推理证明能力 18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC 绕其中心O逆时针旋转?到三角形A1B1C1，且???0,C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1 .

??2?3??.顺次连结A，A1，B，B1，C，?

(1)当?＝

?时，求六边形徽标的面积； 6(2)求六边形徽标的周长的最大值. 【答案】(1)

32a；(2) 23a 42???,由等边三角形ABC的边长为a,可得3?【解析】（1）连接OB,则?AOB1OA?OB?3a,再利用三角形面积公式求解即可； 3（2）根据三角形的对称性可得

AA1?2OAsin?2?23?asin,32?1??????23?3A1B?2OBsin????a?cos?sin?,则周长为关于?的函数,进而?3?2222??32??求得最值即可【详解】

（1）Q等边三角形ABC的边长为a,

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?OA?OB?3a, 3?连接OB,??AOB12???, 313a2???2????2??S?3?OA?sin??sin??????sin????, 226??3?????当???6时,六边形徽标的面积为S?32a 4（2）在VAOA1中,AA1?2OAsin?2?23?asin, 32?1??????23?3VBOAAB?2OBsin??acos?sin?, 在?1中,1???3?2222??32??设周长为f(q),则f????3?AA1?A1B??23asin?当且仅当

?????2???,???0,??, ?23??3??2??3??2,即???3时,f???max?23a

【点睛】

本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想

1?(?1)n19．已知数列{an}满足：a1＝1，且当n?2时，an??an?1?(??R)

2（1）若?＝1，证明数列{a2n?1}是等差数列；

12（2）若?＝2.①设bn?a2n?，求数列{bn}的通项公式；②设Cn?n?3n3对于任意的p，m? N ，当p ? m，都有Cp ? Cm. 【答案】（1）证明见解析；（2）①bn?【解析】（1）分别可得

?a，证明：

ii?12n2n?4；②证明见解析 31???1?a2n+1?a2n?22n+11???1?,?a2n?1a2n?a2n?1?22n?a2n?1,二者求和可得

a2n?1?a2n?1?1,进而得证；

（2）①分别可得

a2n?21???1??2a2n?1?22n?21???1??2a2n?1,a2n?1?2a2n?2第 13 页共 17 页

2n?1?2a2n?1,二者整理

8可得a2n?2?4a2n?2,即可证明?bn?是首项为,公比为4的等比数列,进而求得通项公

3式；

②先求得?a2n?与?a2n?1?的通项公式,则

?a??aii?12n1?a3?L?a2n?1???a2?a4?L?a2n??4n?4?1??n,则3?4n?1?3n?41?4n?14Cn???n??,进而利用数列的单调性证明即可 n?n?1n?3?33n?3?【详解】

1???1?, （1）证明：当??1时,a?a?nn?121???1??a2n+1?a2n?21???1?a2n?a2n?1?22n2n+1n?a2n?1①，

?a2n?1②,

则①?②得a2n?1?a2n?1?1, 当n?1时,a1?1,

??a2n?1?是首项为1,公差为1的等差数列 1???1?,

（2）①当??2时,a?2a?nn?121???1?当n?2时,a?2a??2, 212?a2n?21???1??2a2n?1?22n?12n?22n?2a2n?1①,

1???1?a2n?1?2a2n?2?2a2n?1②,

①?②?2得a2n?2?4a2n?2,

?a2n?2?22???4?a2n??,即bn?1?4bn, 33??Qb1?a2?228?2??, 333第 14 页共 17 页

\\{bn}是首项为,公比为4的等比数列, 82?bn??4n?1??4n

332n②由（2）①知a2n??4?1?,

383?a2n?1?2a2n?1同理由?可得a2n?1?4a2n?1?1,

?a2n?2a2n?1?a2n?1?11???4?a2n?1??, 33??当n?1时,a1?114?1??, 3331?4???a2n?1??是首项为,公比为4的等比数列,

3?3?141?a2n?1???4n?1??4n,

3331?a2n?1??4n?1?

3??ai??a1?a3?L?a2n?1???a2?a4?L?a2n?

i?12n481?4n?1?4n???n2484, ?3??3?n??4n?1???4n?1??n??4n?1??n1?431?43993?4n?1?3n?41?4n?14?Cn???n??,n?n?1n?3?33n?3?4n?2?3?n?1??44n?1?3n?4Cn?1?Cn?? n?2n?1n?1?3n?3???n?2n?1?n?4?3n?1?4?3n?14?3n?4?????????n?1?n?3n?2

n?3?4n?1?6n2?6n?8n?12??

n?n?1??3n?2n?3??4n?1?6n2?14n?12??

n?n?1?3n?2?2?16?6?14?12?0； 32?3?64?24?28?12?0；当n?2时,C2?C1?2?3?33当n?1时,C2?C1?当n?3时,Cn?1?Cn?0,

第 15 页共 17 页

?对于一切n?N?,都有Cn?1?Cn,故对任意p,m?N?,当p?m时,Cp?Cm

【点睛】

本题考查等差数列的证明,考查等比数列通项公式的应用,考查等比数列求和公式的应用,考查运算能力与推理论证能力

1??f(x)?ax??a?ex(a?R，其中e为自然对数的底数. 20．设函数?x??（1）当a＝0时，求函数f (x)的单调减区间；

x2，x3(x1 ? x2 ? x3).①求a的取值范围；（2）已知函数f (x)的导函数f ?(x)有三个零点x1，②若m1，m2(m1 ? m2)是函数f (x)的两个零点，证明：x1?m1?x1 ?1. 【答案】（1）(1,??)；（2）①?0,??4??②证明见解析 27?exx)<0,即可求得单调减区间； ,令f￠【解析】（1）当a?0时,f?x???(xex3x)有三个零点转化为（2）①f??x??2?ax3?x?1?,令g?x??ax?x?1,将f￠(xg?x?有三个零点,对g?x?求导,可得g?x?的单调性,进而得到a的范围；

②将f?x?有两个零点转化为方程ax2?ax?1?0有两个零点,则可得

am12?am1?1,a?【详解】

1,进而得到g?m1??0,g?m1?1??0,从而得证

m12?m1ex, （1）当a?0时,f?x???x?ex?x?1?, ?f??x??2x令f￠x<0,可得x?1,

()\\f(x)的单调减区间为(1,??)

11?x?ax3?x?1?ex?3?ax?x?1??x?0?, （2）①由题,f??x??e?ax??2??e???22xx?x???xx3Qex?0,x2?0,设g?x??ax?x?1,

?x1,x2,x3是g?x?的三个零点,

第 16 页共 17 页

?g??x??3ax2?1,

当a?0时,g￠x<0,则g?x?单调递减,不符合条件；

()当a?0时,令g￠x=0,则x??()1, 3a???1??11??1???,?,???,00,?g?x?在?,,,单调递增在?单调递减, ??????????????3a??3a3a????3a??Qg?0??1?0,

?1??1?1?g??0,a??1?0, 即????3a??3a?3a????4?a?,