湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等
湘豫名校2020届高三5月联考
数学（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合A＝{﹣1，1，i3}，B＝{x∈C|x2+1＝0}（其中i为虚数单位，C为复数集合），则A∩B＝（ ） A．{1}
B．{﹣i}
C．{i}
D．{﹣1，1}
2．若sinα+cosα＝1（0＜α＜π），则3sinα﹣cosα＝（ ） A．0
B．1
C．﹣1
D．3
3．已知实数a满足：a2﹣1≤0．命题P：函数y＝x2﹣4ax﹣1在[﹣1，1]上单调递减．则命题P为真命题的概率为（ ） A．
41
B．
3
1
C． 2
1
D． 4
3
4．中国气象局规定：一天24小时里的降雨的深度当做日降水量，表示降水量的单位通常用毫米．1毫米的降水量是指单位面积上水深1毫米．在连续几天的暴雨天气中，某同学用一个正四棱柱形的容器来测量降水量．已知该正四棱柱的底面边长为20cm，高40cm，该容器的容器口为上底面正方形的内切圆，放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，24小时后，测得容器中水深10cm，则该同学测得的降水量约为（π取3.14）（ ） A．12.7毫米
B．127毫米
C．509毫米
D．100毫米
5．已知数列{an}满足an+1﹣2an＝3，a1＝1，bn＝an+3，则b10＝（ ） A．29
B．310
C．2048
D．1024
6．已知圆C：x2+（y+2）2＝2，则在x轴和y轴上的截距相等且与圆C相切的直线有几条（ ）
A．3条 B．2条
2
C．1条 D．4条
7．y＝x+1与双曲线交于A，B两点，已知双曲线的方程为??2???=1，右焦点为F，直线l：
2则?????????=（ ） A．2√3 B．1?√3 C．﹣2√3 D．4﹣2√3 →→
2??????1≤0
8．已知x，y满足约束条件{??+??+1≥0，则Z＝|x﹣3y﹣2|的取值范围是（ ）
??≤1A．[0，7]
B．（1，7）
C．[0，4]
D．[1，4]
9．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中P为正方体表面上的一个动点，且总有PC⊥BD1，则动点P的轨迹的长度为（ ） A．??
43
B．4π
??
C．3√2
5??12
5??6
D．4√2
10．设函数f（x）＝sin（ωx?6）（ω∈N*）在[A．1
B．1或2
，]上单调递减，则ω的值是（ ）
D．2
C．3
11．已知F1（﹣c，0）、F2（c，0）是双曲线??：??2??2
?=1的左、右焦点，F1关于双曲线??2??2 的一条渐近线的对称点为P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则双曲线的离心率为（ ）A．√2+1
B．2
C．√5
D．√
5+12
|??????|，0＜??＜??
12．已知函数f（x）={，若存在0＜a＜b＜c，使得f（a）＝f（b）＝f
???+??+1，??≥??（c），则Z＝a+b+c的最小值为（ ）
√
A．√3?????3+1+??+1
2√
C．√5?????5+1+??+1
2B．1
D．无最小值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上）
13．已知一组关于（x，y）的数据具有线性相关性：（0，0.9），（1，1.9），（3，3.2），
（4，4.4），且y与x之间的回归方程为??=????+1，则b＝ ．
14．设x＝θ是函数f（x）＝3sinx﹣cosx的一个极值点，则sin2θ+2cos2θ＝ ． 15．B，C的对边分别为a，b，c．在三角形ABC中，角A，若a＝bcosC+ccosA，且?????????=2，c＝2，则三角形ABC的面积为 ．
16．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，满足DC＝2，AB＝1，AD=√3，沿BD将三角形BDC折起，把C折到P点，使平面PBD⊥平面ABD，则三棱锥P﹣ABD的外接球的表面积为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在全面建成小康社会的决胜阶段，让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺．在“脱真贫、真脱贫”的过程中，精准扶贫助推社会公平显得尤其重要．若某农村地区有200户贫困户，经过一年扶贫后，对该地区的“精准扶贫”的成效检查验收．从这200户贫困户中随机抽出50户，对各户的人均年收入（单位：千元）进行调查得到如下频数表： 人均年收入 （0，2） 频数
2
[2，4） 3
[4，6） 10
[6，8） 20
[8，10） 10
[10，12]
5
→
→
若人均年收入在4000元以下的判定为贫困户，人均年收入在4000元～8000元的判定为脱贫户，人均年收入达到8000元的判定为小康户． （1）用样本估计总体，估计该地区还有多少户没有脱贫；
（2）为了了解未脱贫的原因，从抽取的50户中用分层抽样的方法抽10户进行调研． ①贫困户、脱贫户、小康户分别抽到的人数是多少？
②从被抽到的脱贫户和小康户中各选1人做经验介绍，求小康户中人均年收入最高的一
户被选到的概率．
18．已知数列{an}，前n项和为Sn=n2?n（n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）已知数列bn=2????+lg
????????+1
3212，求其前n项和Tn．
19．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，且平面EDCF⊥平面ABCD． （1）求证：DF∥平面ABE；
（2）若直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥F﹣ABE的体积．
20．已知线段AB的长为2，点A与点B关于原点对称，圆M经过点A，B且与直线x+1＝0相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）直线l与M的轨迹交于不同的两点C，D（异于原点O），若kOC+kOD＝2，判断直线l是否经过定点若经过，求出该定点，否则说明理由． 21．已知函数f（x）＝tex﹣3x2，其中t∈R．
（1）若函数f（x）存在三个不同的零点，求t的取值范围；
（2）若函数f（x）存在三个不同的零点a，b，c；且a＜b＜c．求证：b+c＞4． 请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
??=√10????????22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{（θ是参数），在以坐标原
??=√6????????x轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点为极点，直线l的极坐标方程为：√2????????(??+4)=8．（1）写出曲线C的普通方程、直线l的直角坐标方程；
（2）直线l与x、y轴交于A，B两点；P为曲线C上的一个动点，求三角形PAB的面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）＝|x|+|2x﹣1|． （1）解关于x的不等式f（x）＞4；
（2）对任意的x∈R都有f（x）+2x﹣a≥0恒成立，求a的最大值．
??
湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三5月联考文科数学试题 (解析版)
