基本不等式
1．(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为2的有( ) A．当ab＝1时，a＋b C．a2－2a＋3
ba
B．当ab＝1时，a＋b D．a2＋2＋
1
2
a＋2
2．(多选)(2020·山东菏泽期中)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是
( )
A．a2＋b2≥2ab C．b＋1≥2b
2
1
B．a＋a≥2 ?b??a?D．?a?＋?b?≥2
????
3．设0＜x＜2，则函数y＝x?4－2x?的最大值为( ) A．2 C．3
2B．2 D．2
14
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是( ) 7A.2 9C.2 B．4 D．5
1?a＋b??，则( ) 5．若a＞b＞1，P＝lg a·lg b，Q＝2(lg a＋lg b)，R＝lg?
?2?A．R＜P＜Q C．P＜Q＜R
B．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800x
元．若每批生产x件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 C．100件
B．80件 D．120件
1
7．已知函数y＝x＋
m
(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________． x－2
1
8．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋8b的最小值为________．
b2＋2a9．(2020·扬州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab的最小值为________．
13
10．已知正实数x，y满足等式x＋y＝2. (1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围． 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
能力提高
1．(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是( ) A．若x，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4 11B．若x＜2，则函数y＝2x＋的最大值为－1
2x－1C．若x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1 14
D．函数y＝sin2x＋cos2x的最小值为9
1
2．(2020·北京朝阳区模拟)已知x＞1，且x－y＝1，则x＋y的最小值是________．
3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝12??75?x－130x＋4 900?，x∈[50，80?，?x12－??60，x∈[80，120].
2
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
扩展应用
1．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是( )
A．(1,4) C．(7,12)
B．(6,8) 1??
D．?3，2?
??
2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a?1＋x?
元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成x功，试求a的取值范围．
基本不等式
3
1．(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为2的有( ) A．当ab＝1时，a＋b C．a2－2a＋3
ba
B．当ab＝1时，a＋b D．a2＋2＋
1
a2＋2
BC [对于A，当a，b均为负值时，a＋b＜0，故当ab＝1时，a＋b的最小ba
值不为2，A错误；对于B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以a＞0，b＞0，所ba以a＋b≥2baba·＝2，当且仅当1时取等号，故当aba＝b，且ab＝1，即a＝b＝±
ba
ab＝1时，a＋b的最小值为2，B正确；对于C，因为a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，1
所以当a＝1时，a－2a＋3取最小值2，C正确；对于D，a＋2＋2
a＋2
2
2
≥2a2＋2·112
＝2，当且仅当a＋2＝，即a2＋2＝1时取等号，22
a＋2a＋2
1
的最小值不为2，D错误．故选BC.] 2
a＋2
但等号显然不成立，故a2＋2＋
2．(多选)(2020·山东菏泽期中)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是
( )
A．a2＋b2≥2ab C．b2＋1≥2b
1
B．a＋a≥2 ?b??a?D．?a?＋?b?≥2
????
ACD [对于A，当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A正确；对于B，11
当a＞0时，a＋a≥2，等号成立的条件是a＝1，当a＜0时，a＋a≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B不正确；对于C，当b∈R时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，?b??a??b??a??a?＞0，?b?＞0，所以b2＋1≥2b，故C正确；对于D，所以?a?＋?b?≥2????????
?b??a?
?a?×?b?????
?b??a?＝2，当且仅当?a?＝?b?，即a2＝b2时等号成立，故D正确．故选ACD.]
????
3．设0＜x＜2，则函数y＝x?4－2x?的最大值为( ) A．2
2B．2
4
C．3
D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，
D．2
11?2x＋4－2x?21
?＝×4＝2. ∴x(4－2x)＝2×2x(4－2x)≤2×?
2??2当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立． 即函数y＝x?4－2x?的最大值为2.]
14
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是( ) 7A. 29C.2 B．4 D．5
b4a?9141?14?1?
C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知a＋b＝2(a＋b)?a＋b?＝2?5＋a＋b?≥2，当
????b4a4
且仅当a＝b，即b＝2a＝3时等号成立，故选C.]
1?a＋b?
?，则( ) 5．若a＞b＞1，P＝lg a·lg b，Q＝2(lg a＋lg b)，R＝lg?
?2?A．R＜P＜Q C．P＜Q＜R
B．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
C [∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0， 1
lg b，
2(lg a＋lg b)＞lg a·
a＋ba＋b1
即Q＞P.∵2＞ab，∴lg2＞lgab＝2(lg a＋lg b)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R.]
6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800x
元．若每批生产x件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 C．100件
B．80件 D．120件
5
800
B [若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是x元，仓储费用x800x是8元，总的费用是x＋8≥2号．]
7．已知函数y＝x＋
m
(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________． x－2
800x800x·＝20，当且仅当x8x＝8，即x＝80时取等
4 [∵x＞2，∴x－2＞0， ∴y＝x＋
mm
＝x－2＋＋2≥2x－2x－2
?x－2?×
m
＋2＝2m＋2， x－2
m
当且仅当x－2＝，即x＝2＋m时等号成立．
x－2由题意知2m＋2＝6，解得m＝4.]
1
8．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋8b的最小值为________．
11
[由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋8b≥2×4
12a×8b＝11
2×2a－3b＝4，当且仅当2a＝8b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]
b2＋2a
9．(2020·扬州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab的最小值为________．
2＋22 [∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1， b2＋2ab2b2?a＋b?b2a∴ab＝a＋b＝a＋b＝a＋b＋2 ≥2b2a
a×b＋2＝2＋22.
b2a??＝当且仅当?ab
??a＋b＝1
即a＝2－1，b＝2－2时等号成立．
b2＋2a
因此ab的最小值为2＋22.] 13
10．已知正实数x，y满足等式x＋y＝2.
6
(1)求xy的最小值；
(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围． 13
[解] (1)2＝x＋y≥2以xy的最小值为3.
9xy?1?1?13?1?(2)3x＋y＝2(3x＋y)?x＋y?＝2?6＋y＋x?≥2?6＋2
?????
9xy?
?＝6，当且仅当x＝y·x?
3
xy，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所
1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
82
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1， 又x>0，y>0， 82则1＝x＋y≥2
828·＝，得xy≥64， xyxy
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64.
82
(2)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1， 2x8y?82?则x＋y＝?x＋y?·(x＋y)＝10＋y＋x
??≥10＋2
2x8y
y·x＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18.
能力提高
1．(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是( ) A．若x，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4 11B．若x＜2，则函数y＝2x＋的最大值为－1
2x－1C．若x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1
7
14
D．函数y＝sin2x＋cos2x的最小值为9
31
BD [对于A，取x＝2，y＝2，可得2x＋2y＝32＞4，A错误；对于B，y1?1?
1－2x＋?＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，1－2x?2x－1??12
B正确；对于C，易知x＝2，y＝3满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝3＜1，C错4?14cos2x4sin2x?122
误；对于D，y＝sin2x＋cos2x＝?sin2x＋cos2x?(sinx＋cosx)＝sin2x＋cos2x＋
??21
5≥24＋5＝9，当且仅当cos2x＝3，sin2x＝3时等号成立，D正确．故选BD.]
1
2．(2020·北京朝阳区模拟)已知x＞1，且x－y＝1，则x＋y的最小值是________．
3 [∵x＞1且x－y＝1，∴y＝x－1＞0. 111∴x＋y＝x＋＝(x－1)＋＋1
x－1x－1≥211?x－1?·＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋y的
x－1
最小值为3.]
3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝12??75?x－130x＋4 900?，x∈[50，80?，?x12－??60，x∈[80，120].
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
11
[解] (1)当x∈[50,80)时，y＝75(x2－130x＋4 900)＝75[(x－65)2＋675]， 1
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为75×675＝9.
8
x
当x∈[80,120]时，函数y＝12－60单调递减，
120
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－60＝10.
因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
120
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·x. 1208?4 900?8?①当x∈[50,80)时，l＝y·x＝5?x＋x－130?≥5?2
???
4 900?
x·x－130?＝16，?
4 900
当且仅当x＝x，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16. 1201 440
②当x∈[80,120]时，l＝y·x＝x－2为减函数， 所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
扩展应用
1．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是( )
A．(1,4) C．(7,12)
B．(6,8) 1??3，D．? 2???
1
AC [设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝2l，S＝xy.
?x＋y?2
?，符合题对于A，(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤?
?2??x＋y?2
?，不符合意；对于B，(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤?
?2??x＋y?2
?，符题意；对于C，(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤?
?2?1?1?x＋y?2?
?，合题意；对于D，?3，2?，则x＋y＝4，xy＝3，根据基本不等式得xy≤?
???2?不符合题意．故选AC.]
2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方
9
米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1 800a?1＋x?
元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成x功，试求a的取值范围．
[解] (1)设甲工程队的总造价为y元，
24???16?
300×2x＋400×则y＝3?＋14 400＝1 800?x＋x?＋14 400(3≤x≤6)，1 x??????16?800?x＋x?＋14 400≥1 800×2×??
16
x·x＋14 400＝28 800.
16
当且仅当x＝x，即x＝4时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28 800元． 1 800a?1＋x??16?(2)由题意可得，1 800?x＋x?＋14 400＞，对任意的x∈[3,6]恒
x??成立．
?x＋4?2a?1＋x??x＋4?2
即x＞x，从而＞a恒成立，
x＋1?x＋4?2?t＋3?29
令x＋1＝t，＝t＝t＋t＋6，t∈[4,7]，
x＋19
又y＝t＋t＋6在t∈[4,7]为单调增函数，故ymin＝12.25. 所以0＜a＜12.25.
10
2022届高考数学一轮复习课时作业：基本不等式 - 图文
