即X的分布列为： X 1 4P 5 2）X的分布函数为 2 845 3 145 0,x?1??4,1?x?2(P{X?1})??5F(x)?P{X?x}??
44?,2?x?3(P{X?1}?P{X?2})45???1,x?3(P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?1)3)由X的分布函数知其图形表示如下：
F(x)14544450123x
P{X?3.5}?F(3.5)?F(3.5?0)?1?1?0 P{X??2}?1?P{X??2}?1?F(?2)?1?0?1418 ??54545注意：连续型随机变量取某一数值时的概率为0,而离散型随机变量则不同。 P{1?X?3}?P{1?X?3}?P{X?3}?F(3)?F(1)?P{X?3}?1?对任意实数a,b，a?b，则 1、P{a?X?b}}?F(b)?F(a)
2、P{a?X?b}?P{a?X?b}?P{X?b}?F(b)?F(a)?P{X?b} 3、P{a?X?b}?P{a?X?b}?P{X?a}?F(b)?F(a)?P{X?a} 4、P{a?X?b}?P{a?X?b}?P{X?b}?P{X?a}
?F(b)?F(a)?P{X?b}?P{X?a}
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应用统计辅导资料六
主 题：第二章 随机变量及其分布
第四节 几种重要的分布
学习时间：5月4日--5月10日
“不忘初心、牢记使命”主题理论学习：
每周文摘：我们党要始终成为时代先锋、民族脊梁，始终成为马克思主义执政党，自身必须始终过硬。全党要更加自觉地坚定党性原则，勇于直面问题，敢于刮骨疗毒，消除一切损害党的先进性和纯洁性的因素，清除一切侵蚀党的健康肌体的病毒，不断增强党的政治领导力、思想引领力、群众组织力、社会号召力，确保我们党永葆旺盛生命力和强大战斗力。
摘选自《决胜全面建成小康社会，夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》
内 容：
这周我们将学习第二章随机变量及其分布—第四节几种重要的分布，本节重点讨论离散型与连续型随机变量中几种常见的随机变量。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
熟练掌握“0-1”分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布和正态分布，特别是掌握正态分布的性质。
基本概念：“0-1”分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布、正态分布
知识点：离散型随机变量中的二项分布、泊松分布；连续型随机变量中的均匀分布、指数分布和正态分布。
1、为方便理解，我们将主要概念及其性质总结如下：
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几种常见的随机变量的概率分布 X为离散型 X为连续型 “0-1”分布：设X为离散型随机变量，其概均匀分布：设X为连续型随机变量，概率密度为率分布为P{X?1}?p,P{X?0}?q，则称X?1?,a?x?bf(x),f(x)??b?a，则称X服从[a,b]?0,其他?服从参数为p的“0—1”分布。X～B(1,p) 它是离散型随机变量分布中最简单的一种。“0—1”分布的随机变量用来描述只有两上的均匀分布。记为X～U(a,b)。 种对立结果的试验，这类试验称为伯努利试1、由定义看出服从均匀分布的随机变量，验。 其概率密度函数在整个取值区间[a,b]上恒等于一个常数，并且这个常数就是该区间长度的倒数(b?a)?1。 2、均匀分布的均匀性是指随机变量X落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。均匀分布的概率计算中有一个概率公式： 设X～U(a,b),a?c?d?b,[c,d]?[a,b]，则 d?c b?a使用这个公式计算均匀分布的概率很方便。 p{c?X?d}?二项分布：设X为离散型随机变量，其概率指数分布：设X为连续型随机变量，概率密度为mmn?mpq,m?0,1,2,?n 分布为P{X?m}?Cn其中0?p?1,q?1?p,则称X服从参数n,p的二项分布。记为X～B(n,p)。 对于0?m?n，事件“X=m”为n次试m验中m次成功，n-m次失败，它是Cn个互不??e??x,x?0f(x),f(x)??其中?>0，则称X服从?0,x?0参数为?的指数分布。记为X～E(?)。 其分布函数为 x??1?e??x(P{X?x}???e??tdt)，x?0F(x)?? 0?0,x?0?指数分布常用作各种“寿命”分布的近似，相容事件的和，每一个事件都是n次试验中比如随机服务系统中的服务时间，一些消耗性产m次成功，其余n-m次失败，其概率为品（如电子元器件）的使用寿命等多近似服从指数分布。一些系统或设备在T小时之前出故障的pmqn?m。 概率就是分布函数F(x)?1?e??x在x=T时的值mmn?mpq 由概率的可加性，P{X?m}?CnF(T)。 如果进行n次试验，第n次试验才首次取得成功，那么由于重复试验中，各次试验的结果是相互独立的，因此事件“X=n”的概率为第28页 共82页
pqn?1(q?1?p)，于是X的概率分布为 P{X?n}?pqn?1,n?0,1,2,?，此式恰好是一个几何数列，则称X服从参数为p的几何分布，记为X～G(p)。 泊松（Poisson）分布：设X为离散型随机变正态分布：设X为连续型随机变量，概率密度为量，其概率分布为 (x?u)2?12f(x),f(x)?e2?,???x??, m???2??P{X?m}?e,m?0,1,2,?m! 其中??0,u与?均为常数，则称X服从正态分其中?>0,则称X服从参数为?的泊松分布。布。记为X~N(u,?2)。 记为X～P(?)。 函数f(x)的图形呈钟形，?越小，曲线越陡??xn?n??x?e易知?e?1 利用级数?峭，它以直线x=u为其对称轴，在x=u处，f(x)m!m!m?0m?0取到最大值f(u)?(2??)?1,在x?u??处有拐定理（泊松定理）：在n重伯努利试验中，成功次数X服从二项分布，假设每次试验成功点，且y=0是f(x)的水平渐近线。 的概率为pn(0?pn?1),并且limnpn???0,n??则对于任何非负整数m，有 limP{X?m}?limCp(1?pa)n??n??mnmnn?m??mm!e?? (此式不要求证明) 据此定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功次数X近似地服从参数??np的泊松分布。即对于任何非负整数m：0?m?n,有 mmP{X?m}?Cnp(1?p)n?m? 利用泊松积分，?e????x2dx??，通过积分换(np)?npem! m元法y?(x?u)????)2，可以证明 实际应用中，n?100,p?0.1,不过，若 ????f(x)dx???12??d(ye?(x?u)22?2dx???12???e?y22dy n?200，近似程度更好。 2大量实践实验和理论分析表明，测量误差及很多产品的物理指标，如某种产品的长度、强度、强力等都可以看作服从或近似服从正态分布。因此正态分布在概率论与数理统计乃至随机过程????1?e?(y2)?1第29页 共82页
的理论及应用中，都占有特别重要的地位。 当u=0,?2=1时，正态分布转化为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数为 ?(x)?12?e?x22(???x??)。 其分布函数为 ?(x)??x12???e?t22dt(???x???) ?(x)的图像关于y轴对称，且?(x)在x=0处取得最大值12? 定理1：设随机变量X~N(u,?2),随机变量Y~N(0,1)，则有F(x)??(x?u?)，其中F(x)与?(x)分别是X和Y的分布函数。 定理2：设随机变量X~N(u,?2)，Y?(X?u)?，则有Y~N(0,1) 通常标准正态分布具有下列性质： 1、?(?x)?1??(x) 2、?(0)?1 2 2、典型例题分析 例1（二项分布）
一批产品的合格率为0.9，重复抽取（取出的每件产品在下次抽取前送回）三件：每次一件，连续3次。求3次中取到的合格品件数X的概率分布。
解：随机变量X可以取0，1，2，3共4个值。由于是重复抽取，各次抽取结果不受其他次抽取情况的影响，即各次抽取结果是相互独立的。
事件“X=0”表示“3次均未取到合格品”，事件“X=1”表示“3次中只有1次取到合格品”，而3次中的任意一次取到合格品，另两次未取到合格品的概率都是
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