小值?则m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)(a?b)
ab性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a?b]上连续?则在积分区间[a?b]上至少存在一个点?,使?f(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)成立
ab
典型例题：
利用定积分的几何意义说明等式?2xdx?1
01解：?2xdx表示由直线y?2x、x轴及直线x?1所围成的面积,显然面积为1。
01
3、定积分与原函数的关系 一、变上限的定积分及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续?x?[a,b]，则定积分?f(t)dt一定存在，当x在[a?b]
ax上变动时，它构成了一个x的函数，称为f(x)的变上限积分函数，记作?(x)，即
?(x)??f(t)dt(a?x?b)（要求理解概念）
ax
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定理1 如果函数f(x)在区间[a?b]上连续?则变上限积分函数 ?(x)??f(t)dt在[a?b]上具有导数?且导数为
axdx??(x)?f(t)dt?f(x)(a?x?b)
dx?a定理2 如果函数f(x)在区间[a?b]上连续?则变上限积分函数
?(x)??f(t)dt就是f(x)在[a?b]上的一个原函数
ax典型例题：
例1、(?e?tdt)??e?x
0xdx33x?x (t?t)dt??0dx二、牛顿—莱布尼茨公式
例2、
定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a?b]上的一个原函数,则
?f(x)dx?F(b)?F(a)?F(x)a。
abb此公式称为牛顿—莱布尼茨公式?也称为微积分基本公式。（要求熟练掌握公式） 典型例题：
?x2例1、??(cosx?x)dx?sinx??222?2
??2?????????????2???2??sin()??sin(?)??1?(?1)?2
2222512221129例2、?x(1?x)dx??(x?x)dx?(x?x)???
000251025113222
4、定积分的换元法与分部积分法 一、定积分的换元法
定理 设函数f(x)在区间[a?b]上连续?函数x??(t)满足条件： (1)?(?)?a,?(?)?b
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(2)?(t)在[???](或[???])上具有连续导数?且其值域不越出[a?b]，则有
?baf(x)dx??f[?(t)]??(t)dt
??这个公式叫做定积分的换元公式。（要求熟练掌握计算方法） 典型例题：
blnx例、设0?a?b，求?dx的值
ax解：解法Ⅰ 令lnx?u,x?eu,dx?eudu,当x?a时u?lna;当x?b时u?lnb。
blnxlnbuu12lnb12则?dx???edu?u?(lnb?ln2a) uaxlnae2lna21解法Ⅱ 使用凑微分公式dx?dlnx
x?babb1lnx1dx??lnxdlnx?ln2x?(ln2b?ln2a)
aa2x2二、定积分的分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a?b]上具有连续导数u(x)?、v(x)?， 由(uv)??u?v?uv?得uv??(uv)??u?v，等式两端在区间[a?b]上积分得
bb??uvdx?[uv]?uvdxudv?[uv]或aa??vdu ???aaaabbbb这就是定积分的分部积分公式。（要求熟练掌握计算方法）
b?分部积分过程：?uv?dx??udv?[uv]ba??vdu?[uv]a??uvdx? ? ? ?
aaaabbbb典型例题：
例、计算?arcsinxdx
012解：?arcsinxdx?xarcsinx??00012121211?xxdarcsinx????2dx
02261?x1?3?1112222???1 ???d(1?x)??1?x021220121221?x?应用统计辅导资料三
主 题：第一章概率1—3节
学习时间：4月13日--4月19日
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“不忘初心、牢记使命”主题理论学习：
每周文摘：担使命，就是要牢记我们党肩负的实现中华民族伟大复兴的历史使命，勇于担当负责，积极主动作为，用科学的理念、长远的眼光、务实的作风谋划事业；保持斗争精神，敢于直面风险挑战，知重负重、攻坚克难，以坚忍不拔的意志和无私无畏的勇气战胜前进道路上的一切艰难险阻；在实践历练中增长经验智慧，在经风雨、见世面中壮筋骨、长才干。
摘选自《在“不忘初心、牢记使命”主题教育工作会议上的讲话》
内 容：
这周我们将学习第一章概率（1—3节）。本章讲述的是应用统计的基本概念，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、理解随机事件、基本事件和样本空间的概念 2、熟悉事件之间的关系及运算规律 3、知道随机事件的频率概念
4、理解概率的统计定义以及公理化定义
5、掌握概率的基本性质以及运用它们进行概率的运算 基本概念：随机实验、随机事件、概率的定义 知识点：事件之间的关系及运算、概率的性质
1、为方便理解，我们将主要概念总结如下： 随机事件的概念与性质 具有以下三个特点的试验称为随机试验： （1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行 随机试验 （2）明确性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的全部可能结果 （3）随机性：试验之前不能准确预言该次试验将出现哪一种结果 随机试验E的每一个不可再分的结果?，称为一个样本点； 样本点与样本空间 样本点的全体所组成的集合Ω，称为E的样本空间。 试验中所有可能出现的基本结果，即最简单的随机事件，称之为基本事件。 一次试验中可能出现也可能不出由多个样本点构成的子集称为复随机事件 现的事件称为随机事件。 合事件。 样本空间Ω称为必然事件 空集Φ称为不可能事件 事件的和A+B：表示事件A与B至少有一个发生（或写成A?B） 事件间的运算 事件的积AB：表示事件A与B同时发生(或写成A?B) 事件的差A-B：事件A发生而事件B不发生 事件的包含A?B：事件A发生必然导致事件B发生 事件相等A=B：A?B且B?A 事件间的关系 互不相容事件：事件A与B不能同时发生，即AB=Φ 第14页 共82页
对立事件A：事件A不发生，即Ω-A 完备事件组A1,A2,?An：A1,A2,?An至少一个发生且不同时发生，即AiAj??（1?i,j?n,i?j)且A1?A2???An?? —频率概率的定义与性质 设E为一个随机试验，A是E的一个事件。在相同的条件下，将E进行n次。在这n次重复试验中，事件A发生的次数n(A)称为事件A发生的频数；称比值频率的定义 n(A)为事件A在n次试验中出现的频率。 u(A)?nn（1）非负性：un(A)?0 （2）规范性：un(?)?1 频率的性质 （3）有限可加性: 若A1,A2,,Am是m个两两互不相容事件，即Ai?Aj??,i?j，m则有 un(i?1Ai)??un(Ai)。 i?1m统计定义：在相同的条件下重复进行n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率un(A)稳定地在某一常数p附近摆动；且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则 n(A) n??n??n公理化定义：设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于试验E的每一个事件A概率的定义 赋予一个实数，记为P(A)，若它满足如下三个条件： （1）对任何事件，都有0?P(A)?1 （2）对于必然事件，P(Ω)=1 称常数p为事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率。P(A)=limun(A)=lim（3）对于任意互不相容事件A1,A2,?An，有P(?Ai)??P(Ai)，则称P(A)为事件Aii的概率。 （1）P(Φ)=0 （2）对于任意互不相容事件P(?Ai)??P(Ai)，P(A+B)=P(A)+P(B) ii概率的性质 （3）P(A)=1,P(—)=1-P(A) A?ii（4）如果B?A，有P(B-A)=P(B)-P(A) （5）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 2、典型例题解析
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《应用统计》最全自学方案及练习 - 图文
