1.3 三角函数的诱导公式
自主广场
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1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（ ）
A.cosα=cosβ B.cosα=-cosβC.sinα=-sinβD.以上都不对
思路解析：利用诱导公式β=π-α即可推导.cosα=cos(180°-β)=-cosβ. 答案：B 2.
化简的结果是（ ）
A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.±(sin3-cos3)D.以上都不对 思路解析：用诱导公式化简后，配成完全平方形式.
=
==|cos3-sin3|.
∵
＜3＜π,∴sin3＞0,cos3＜0.
∴原式=sin3-cos3. 答案：A
3.设A、B、C是一个三角形的三个内角，则下列式子中值为常数的有（C≠）（①sin(A+B)-sinC ②cos(A+B)+cosC ③tan(A+B)+tanC ④cot(A+B)-cotC A.1B.2C.3D.4
思路解析：利用三角形内角和定理A+B+C=π，结合诱导公式即可推导. ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,sin(A+B)-sinC=0. 同理cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,cos(A+B)+cosC=0; tan(A+B)=tan(π-C)=
-tanC,tan(A+B)+tanC=0;
cot(A+B)=cot(π-C)==-cotC,cot(A+B)-cotC=2cotC.
所以结果为常数的有3个.
答案：C
4.tan300°+sin450°的值是（ ） A.1+
B.1-C.-1-D.-1+
思路解析：利用诱导公式将角化到锐角范围，由特殊角的三角函数值即可求解. tan300°+sin450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°) =-tan60°+sin90°=1-.
）
答案：B
5.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)=-1，则f(2 003)=______________.
思路解析：用诱导公式寻求f(2 002)和f(2 003)的关系. f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin［π+(2 002π+α)］+bcos［π+（2 002π+β)］ =-asin(2 002π+α)-bcos(2 002π+β) =-［asin(2 002π+α)+bcos(2 002π+β)］ =-f(2 002)=1. 答案：1
6.已知sin(π-α)-cos(π+α)=
(
＜α＜π)，则sinα-cosα=________________.
2
思路解析：将已知平方可求sinαcosα,然后利用(sinα±cosα)=1±2sinαcosα求解. 易知sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=
.
两边平方，得1+2sinαcosα=∵
,∴2sinαcosα=.
＜α＜π,∴sinα＞0＞cosα.
故有sinα-cosα=.
答案：
7.|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为________________. 思路解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.由已知得：|cosα|=-cosα，∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角. ∴2kπ+
≤α≤2kπ+
(k∈Z).
,k∈Z
答案：2kπ+≤α≤2kπ+
8.已知sin(α+β)=1，求证：tan(2α+β)+tanβ=0. 思路分析：由sin(α+β)=1出发得到α+β=2kπ+左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边. 证明：∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+∴α=2kπ+
-β(k∈Z).
-β)+β］+tanβ (k∈Z).
即α=2kπ+
-β.将其代入被证式的
∴tan(2α+β)+tanβ=tan［2(2kπ+
=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0. ∴tan(2α+β)+tanβ=0.得证.
9.化简+sin(-θ).
思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.
解：+sin(-θ)
=
=
=
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10.判断函数y=Asin(+)(A≠0)的奇偶性.
思路分析：先化简，然后利用奇偶性定义作出判断. 解：y=Asin(=Asin(π+
+
+
)=Asin(6π+
+
+
)=Asin(.
+
)
)=-Asin()=-Acos+
)=-cos=f(x).
∴f(-x)=-Acos(-∴函数y=Asin(
)(A≠0)为偶函数.
(n∈Z)，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102).
11.已知函数f(n)=sin
思路分析：如果将n=1,2,3,4，…,102分别代入计算，显然比较复杂，若注意到f(n)的周期性，将会使运算大大简化. 解：由诱导公式，知sin(
π)=sin(
+2π)=sin
，
∴f(n+12)=f(n),且f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,102=12×8+6, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6) =sin
+sin
+…+sin
=2+
.
12．求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值. 思路分析：将sin(630°-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式自主训练新人教A版必修4
