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第一章 集合
习题1.1
1.
a) {0, 1, 2, 3, 4} b) {11, 13, 17, 19} c) {12, 24, 36, 48, 64} 2.
a) {x | x ? N 且x ? 100}
b) Ev = {x | x ? N 且2整除x } Od = {x | x ? N 且2不能整除x } c) {y | 存在x ? I 使得 y = 10 ? x } 或 {x | x/10 ? I }
3. 极小化步骤省略 a) ①
② 或 ① ② 或 ① ②
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ? A ； 若?, ? ? A，则??? ? A 。
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ? A ；
若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a?? ? A 。 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ? A ；
若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则??a ? A 。
b)
① {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ? A ；
② 若?, ? ? A 且 ? ? 0，则 ??? ? A 。
c) ① 若a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则 a. ? A ；
② 若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则??a ? A ；
若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a?? ? A 。
或 ① {0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.} ? A ；
② 若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则??a ? A ；
若? ? A 且 a ? {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，则a?? ? A 。 d) ① {0, 10} ? A ；
② 若? ? A，则1?? ? A ；
若?, ? ? A 且 ? ? 0，则 ??? ? A 。 e) Ev定义如下：
① {0} ? Ev 或0 ? Ev ； ② 若? ? Ev，则?+2 ? Ev 。
.
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Od定义如下：
① {1} ? Od 或1 ? Od ； ② 若? ? Od，则?+2 ? Od 。 ① {0} ? A 或 0 ? A ；
② 若? ? A，则(??1) ? A 。
2f)
4. A = G；C = F；B = E。
5. 题号 是否正确 a) ? b) ? （空集不含任何元素） c) ? d) ? e) ? 6. 7. 8. a) b) c) d) e) f) g) 9. a) b) c) d)
f) g) h) 题号 a) b) c) d)
? ? ?
是否正确
? （ 反例：A = {a}；B = ?；C = {{a}} ） ? （ 反例：A = ?；B = {?}；C = {?} ） ? （ 反例：A = ?；B = {a}；C = {?} ） ? （ 反例：A = ?；B = {?}；C = {{?}} ）
能。例如：B = A ? {A} 。
?；{1}；{2}；{3}；{1, 2}；{1, 3}；{2, 3}；{1, 2, 3}； ?；{1}；{{2, 3}}；{1, {2, 3}}； ?；{{1, {2, 3}}}； ?；{?}；
?；{?}；{{?}}；{?, {?}}； ?；{{1, 2}}；
?；{{?, 2}}；{{2}}；{{?, 2}, {2}}；
{?，{a}，{{b}}，{a, {b}}}； {?，{1}，{?}，{1, ?}}；
{?，{x}，{y}，{z}，{x, y}，{x, z}，{y, z}，{x, y, z}}；
{?，{?}，{a}，{{a}}，{?, a}，{?, {a}}，{a, {a}}，{?, a, {a}}}。
习题1.2
.
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1. a) b) c) d) e) f) g) h) 2. a) b) c) d) e)
A ? ~B = {4}；
(A ? B) ? ~C = {1, 3, 5}； ~ (A ? B) = {2, 3, 4, 5}； ~A ? ~B = {2, 3, 4, 5}； (A – B) – C = ?； A – (B – C) = {4}； (A ? B) ? C = {5}；
(A ? B) ? (B ? C) = {1, 2}。
B ? C 或 B – E ； A ? D ；
(A – B) ? C ； C – B 或C – A ；
(A ? C) ? (E – B) 或 (A – E) ? (E – B)；
3.
a) 证明：对于任意x ? A ? C，
因为x ? A ? C，所以x ? A或x ? C。 若x ? A，则由于A ? B，因此x ? B； 若x ? C，则由于C ? D，因此x ? D。 所以，x ? B或x ? D，即x ? B ? D。 所以，A ? C ? B ? D。 类似可证A ? C ? B ? D。 d) f) 4. a)
A – (B ? C) = A ? ~ (B ? C) = A ? (~ B ? ~C) = (A ? A) ? (~ B ? ~C) = (A ? ~B) ? (A ? ~C) = (A – B) ? (A – C)
A – (A – B) = A ? ~ (A – B) = A ? ~ (A ? ~B) = A ? (~ A ? B) = (A ? ~A) ? (A ? B) = ? ? (A ? B) = A ? B
?) 若A = B，则A ? B = A且 A ? B = A。
因此，A ? B = (A ? B) – (A ? B) = A – A = ?。 ?) 若A ? B = ?，则A ? B = A ? B。 又因为A ? B ? A ? A ? B且A ? B ? B ? A ? B，所以 A ? B = A = B = A ? B。 所以A = B。
5. 证明略。
a) b) c) d) e)
.
?
?
? （反例：A = {a, b}，B = {a}，C = {b}） ? （反例：A = {a}，B = {a, b}，C = {a, c}） ?
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6. a) b) c) d)
f) g) ? ? （反例：A = {a, b}，B = {a}，C = {b}） （反例：A = {a}，B = {a, b}，C = {a, c}）
B ? C ? ~ A； A ? B ? C；
A ? ~ (B ? C)，即B ? C ? ~ A； A ? B ? C；
e) (A – B) ? (A – C) = (A ? ~B) ? (A ? ~C) =
((A ? ~B) ? (A ? ~C)) – ((A ? ~B) ? (A ? ~C)) = ((A ? ~B) ? (A ? ~C)) ? ~ ((A ? ~B) ? (A ? ~C)) = ((A ? ~B) ? (A ? ~C)) ? (~ (A ? ~B) ? ~ (A ? ~C)) = ((A ? ~B) ? (A ? ~C)) ? ( (~ A ? B) ? (~A ? C)) = (A ? (~B ? ~C)) ? ( ~ A ? (B ? C)) = (A ? (~B ? ~C)) ? (B ? C) = A ? ( (B ? C) ? ~ (B ? C) ) = A ? (B ? C) 因此，若(A – B) ? (A – C) = A，则A ? (B ? C) = A。
所以，A ? (B ? C)。
f) 由上题，(A – B) ? (A – C) = A ? (B ? C) 因此，若(A – B) ? (A – C) = ?，则A ? (B ? C) = ?。 g) A = B； h) A = B = ?； i) A = B； j) B = ?；
k) B ? A 或 A ? B。 7.
a) 对于任意x ??(A) ??(B)，则x ??(A) 或x ??(B)。
若x ??(A)，则x ? A。因为A ? A ? B，所以，x ? A ? B。 因此，x ??(A ? B)。
若x ??(B)，则x ? B。因为B ? A ? B，所以，x ? A ? B。 因此，x ??(A ? B)。
所以，总有x ??(A ? B)。
因此，?(A) ??(B) ? ?(A ? B)。
b) 对于任意x ??(A) ??(B)，则x ??(A) 且x ??(B)。
x ??(A)，因此x ? A。x ??(B)，因此x ? B。 所以，x ? A ? B。 因此，x ??(A ? B)。
所以，?(A) ??(B) ? ?(A ? B)。 8.
a) ?{{?}} = {?}，?{{?}} = {?}； b) ?{?, {?}} = {?}，?{?, {?}} = ?；
.
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c) ?{{a}, {b}, {a, b}} = {a, b}，?{{a}, {b}, {a, b}} = ?。
9. 证明：
i) 若x ? R0，则x ? R且x ? 1。所以对于任意i?I+均有x < 1+1/i。即对于任意i?I+均有x
? Ri。所以，x?
???Ri。
i?1ii) 若x ?
?Ri，则对于任意i?I+均有x ? Ri。所以对于任意i?I+均有x < 1+1/i。所以，x
?i?1? 1，故x?
?Ri。
?i?1?10. 因为An+1 ? An，所以
?An?0n?A0，?An??。
n?011.
?Ax?Rx?1x?{y|y?R且y?0}，?Ax?{y|y?R且0?y?1}。
x?Rx?112. a)
x?A iff ?m?0有x??Ai iff ?m?0总?n?m使得x?An；
i?m??b)
x?A iff ?m?0有x??Ai iff ?m?0使得?n?m有x?An。
i?m.
国防科大版离散数学习题答案
