第四章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y?kx?b（k，b为常数，k?0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数y?kx?b中的b=0时（即y?kx）（k为常数，k?0），称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
①、一次函数y?kx?b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y?kx的图像是经过原点（0，0）的直线。
②、由于一次函数y?kx?b的图象是一条直线，所以一次函数y?kx?b的图象也称为直线y?kx?b。
③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数y?kx?b的图象时，只要描出：与x轴的交点（令y?0，求出x??b），与y轴的交点（令x?0，求出y?b），kb即（(0,b),(?,0) 两点即可，画正比例函数y?kx的图象时，只要描出点（0，0），
k（1，k）即可。
④、k的正负决定直线的倾斜方向，k的大小决定直线的倾斜程度，即k越大，直线
与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），k越小，直线与x轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。
⑤、b的正负决定直线与y轴交点的位置。
当b?0时，直线与y轴的交于正半轴上。当b?0时，直线与y轴交于负半轴上。 当b?0时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、一次函数、正比例函数的图象和性质。
当k＞0时，y随x的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势； 当k＜0时，y随x的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 函 数 一次函数 图 象 性 质 （1）当k?0时，y随x的增大而增大，图象必经过一三象限。 ①b?0时，过一二三象限 ②b?0时，只过一三象限 y?kx?b ?b.?0?k?0?b?0?b?0??1??2??3??b.?0?k?0?b?0?b?0??1??2??3?③b?0时，过一三四象限时 （2）当k?0时，y随x的增大而减小，图象必过二四象限。 ①b?0时，过一二四象限 ②b?0时，只过二四象限 ③b?0时，过二三四象限 正比例函数 y0xy0x 图象过原点 ⑴当k?0时，y随x的增大而增大，图象必过一三象限 ⑵当k?0时，y随x的增大而减小， 图象必过二四象限。 y?kx 5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y?kx（k?0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y?kx?b（k?0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
①由于正比例函数y?kx(k?0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。
②由于一次函数y?kx?b(k?0)中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b 的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点或两对x,y的值。 （2）待定系数法
先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。
（3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
① 设函数表达式为y?kx?b。
② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 ③ 求出k与b的值，得函数表达式。 6、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值y?0时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y?0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 7、一次函数y?kx?b的图象与坐标轴交点求法： 与x轴的交点：令y?0，求出x??bb，得(?,0)； kk与y轴的交点：令x?0，求出y?b，得 (0,b)
北师大版八年级数学上册知识点归纳：第四章一次函数
