沧源民族中学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程
2.2双曲线
一、预习提纲
高二数学
主备人：鲁杰溶、乐飞泽 教研组审核意见：
预习教材第45-54页
知识点一 双曲线的定义
1.定义： 2.集合语言表示：点集P={M||MF1|-|MF2|=2a，0<2a<|F1F2|}叫做双曲线,F1，F2是双曲线的 ,|F1F2|=2c是 . 3.将定义中的常数记为2a,则:
当2a<|F1F2|时,点的轨迹是 ;当2a=|F1F2|时,点的轨迹是 ;当2a>|F1F2|时,点的轨迹 . 知识点二 双曲线的标准方程与性质
x2y2y2x2类型 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) a2b2a2b2图像 焦点 焦距 范围 对称性 中心 性质 通径长 顶点 轴 离心率 渐近线 2
2
y≥a或y≤－a x≥a或x≤－a 以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心的对称图形 (0,0) (±a，0) 实轴A1A2，虚轴B1B2 2
2
2
2
(0，±a) 注：①等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，标准方程为x-y=a或y-x=a，其中e=2，渐
近线为y＝±x.②e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大 知识点三 焦点三角形
x2y2
已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），∠F1PF2=θ，则△F1PF2的
ab面积为 . 知识点四 直线与双曲线的位置关系
将直线方程与双曲线方程联立组成方程组，消去一个未知数.
(1)若得到的方程为一次方程，即直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交且只有一个公共点。 (2)若得到的方程为二次方程，则：
①当Δ<0?方程组无实数解?直线与双曲线 ;
1
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②当Δ=0?方程组有一组解?直线与双曲线 ; ③当Δ>0?方程组有两组解?直线与双曲线 . 11＋2·（y1＋y2）2－4y1y2．
k
高二数学
(3)直线与双曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=1＋k2|x1－x2|=1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2， 或|P1P2|=1＋k2|y1－y2|=
预习自测1
1．平面内，到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( ) A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
2．焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点P(27，3)和点Q(－7，－62)的双曲线方程是( ) x2y2x2y2y2x2
A．－＝1 B.－＝1或－＝1
257525752575x2y2y2x2y2x2
C．－＝1或－＝1 D.－＝1
257575257525
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A．(
256
，0) B．(，0) C．(，0) D．(3，0) 222
4．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是 . x2y2
5．已知双曲线过点(5，0)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点，求双曲线的方程．
305预习自测2
x2y2
1．双曲线－＝1的顶点坐标是( )
259
A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3) 2．(2024·浙江卷，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( ) A．
2
B．1 C．2 D．2 2
x22
3．(2024·山东潍坊高二期末)双曲线方程为－y＝1，则渐近线方程为( )
411
A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝x
22
x2y2
4．已知双曲线2－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
a533
A． B． C．3 D．4
42
x22
5．双曲线－y＝1的焦距是 ，渐近线方程是 .
2
6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±3x，且双曲线过点(2，3)． (1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．
二、知识探究
双曲线及其标准方程
2
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问题1.观察教材P45－图2.2－1，思考下列问题：
①在点M移动的过程中，||MF1|－|MF2||的值发生变化吗？ ②动点M的轨迹是什么？
问题2.利用教材P46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题3.双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
问题4.在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？
x2y2y2x2
问题5.如何判断方程2－2＝1(a>0，b>0)和2－2＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？
abab
x2y2
问题6方程＋＝1表示哪种曲线呢？
mn
问题7.椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？
探究1：双曲线定义的应用
x2y2x2y2
例1 椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，且P是这两条曲线的一个交点，
mnab则|PF1|·|PF2|等于 . x2y2
变式训练1P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为 .
6436探究2：待定系数法求双曲线的标准方程
9
例2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点(3，－42)和(，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与
4x2y2
双曲线－＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．
164
变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)； x2y2
(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，10)．
1625
探究3：双曲线的焦点三角形问题
x2y2
例3 设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．
49(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；
(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？
x2y2
变式训练3若F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
916探究4：分类讨论思想的应用
例4已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
3
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x2y2
变式训练4讨论方程＋＝1(m<3)所表示的曲线类型．
5－m2－m探究5：注意参数取值范围对解题的影响
例5 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
x2y2
变式训练5已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
1＋k1－kA．－1
高二数学
双曲线的简单几何性质
根据以下提纲，预习教材P49～P53的内容，回答下列问题．
x2y2
问题1.类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
ab
问题2.如何用a，b表示双曲线的离心率？
问题3.椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度．那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？
x2y2y2x2
问题4.双曲线2－2＝1与2－2＝1的渐近线有什么关系？等轴双曲线的离心率为何值？
abba
探究1：根据双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
变式训练1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
探究2：利用几何性质求双曲线的标准方程
5
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴长为8，离心率为；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、
4F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．
3
变式训练2(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程为 .
2(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为 . 探究3：双曲线的离心率
x2y2
例3已知F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，圆(x－c)2＋y2＝4c2与双曲线C位于x轴上方的
ab两个交点分别为M，N，若F1M∥F2N，则双曲线C的离心率为 . 4
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变式训练3(1)若双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为( )
ab3
A．2 B． C．3 D．2
2
x2y2
(2)若双曲线2－2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
abA．
7545 B． C． D． 3433
x2y2
高二数学
探究4：实际应用问题
例4 如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°.怎样运土才能最省工？
变式训练4如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向距离B 2 km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km.求：(1)河流沿岸PQ所在的曲线方程；(2)修建这两条公路的总费用的最小值．
探究5：直线与双曲线的位置关系
例5 已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1. (1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．
变式训练5过双曲线
x2－
y2
＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( ) 2
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 探究6：双曲线中的中点弦问题 例6 已知双曲线方程为2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使直线l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
变式训练6已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(2,0)，直线3x－2y＝0与双曲线C的一个交点的横坐标为2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
5
2.2双曲线 学案
