2a
11. (1)解法1: ??? h x 2x In x,其定义域为 x
0,
0 ???? a 0,. a ,3 .
当x变化时,
h x , h x的变化情况如下表: 0,即 3 a2
x 0* 一 X2 0 极小值 X2, + h x h x 2
] Z 依题意，—
1 8a2
1 4
3 ,??? a 0 , ? a . 3 .
（2）解：对任意的
x,x
[1, e]时,
,
1, 都有
max
X2成立等价于对任意的捲，屜 1,
Inx在1, e上是增函数.
?- g
max 2
g
1冷
①当
时,
x
1,e
x -2~ x a2.由 1
2
?函数 f X x 一在
x
[1,
min
a 、、3.
e 1,得 a》〔e ,
?/ x 1是函数h x的极值点,
经检验当a .,3时，x 1是函数h x的极值点, 解法2: ?/ 令h x
2
h x 2x —
2
x
1
In x，其定义域为 0, , ? ?. h x 2舟丄.
2
x x
0，即 2冷
x
0, x
整理，得2x
x a
2
0 .
2
1 8a
0 , ?
h x
0的两个 实根x1
1 .1 8a2
4
人亠 （舍去） ,（舍去丿
1 / 8a2
x
2
—4—
1,. a不合题意.
x a x
2
②当
a
x
2~
e，则
上是增
?函数f x
在1,a上是减函数，在a, e
x
x
min
2a .由 2a > e 1,得a
> —_1，又 1w a w e , ? e
2
a
0, ?函数f x x 在1, e
x
2
③当a
26
上是减函数
a
2
2
e ???? a e.
e
综上所述，a的取值范围为 J .
2
1sin x 11 > 0在 即 上恒成立, 12?解：(1)由题意，g (x) 1,
sin 2 x x sin x
上恒成立，
.故 sin sin 0 x 1 > 0 在 1,
??…
1 只须 sin 1 1 > 0 , 即 sin > 1 ，只有sin 结合9 � (0, n,得 . 2
m (2 )由 (1),得 f(x) g(x) mx 2x m 2ln x . mx f(x) g(x)
x 2 . x ??? f(x) g (x)在其定义域内为单调函数，
‘ , 2 . 2 …mx 0在[1 ,+s )恒成立. 2x m > 0 或者 mx 2x m w
x 等价于 2
m(1 x ) > 2x，即 m > ------------------- 2 ,
mx 2x 1 x
2x 2 、
,(- ―1 ) max=1 , ? m> 1 . 2 “ 而-
x 1 x x
x
2 2
笃在［1 ,+s)恒成立, mw 0等价于 m(1 mx 2x 1 x
x�( 0, 1] , m w 0 . 而2
x 1 综 的取值范围是 10分 m ,0 U 1, 上,
X min
—?由e 》e 1，得a》Je，又a e，/
2
…1分 > 0
2分
n
2
…4分
...5 分
m 2e (3)构造 F(x) f (x) h(x), g(x) F (x) mx 2ln x
x x
2e 小 所以在O1 当 m w 0 时，x [1,e], e］上不存在一个
2ln x <0 , 得 ［1 ,
x
12分 f (XD) g(xo) h(xo)成立.
2
2e mx 2x m 当 m 0 时，(F(x))' m 马■ Z 2e 14分 ~~2 2 x x x x
2
因为 x [1,e]，所以 2e 2x > 0 , 0,所以 (F(x))' 0 在 x [1,e]恒成立. mx
m me 4，只要 me m 4 0 , 故F(x)在［1,e］上单调递增，F(x)max F(e) —
e e
X。，使
解得m二空?故m的取值范围是(冷叵
e 1 e 1
16分
27
高三数学复习-合理构造函数解导数问题以及构造函数法
