高中复习-合理构造函数解导数问题
例 1：已知函数f x In ax 1 x33 x2 ax
2
2 若土为y f x的极值点，求实数a的值; 3
f x在1, 上增函数，求实数 a的取值范围; 方程的取值范围。
1f1 x 1 x3 -有实根，求实数b 时, x 解
: (1) 因为 -是函数的一个极值点，所以 f (2
) 0,进而解得: 3 3
符合的，所以
0.
(2)显然f a 3x2 2x a,
ax 1 结合定义域知道 ax
立，所以
a
0a 0。同时 3x2 2x a此函数是 且
ax 1
故此我们只需要保证 f 1 0,解得:
(3)方法一、变量分离直接构造函数
解：由于
x 0,所以：b In x x2 x2 x3 2
In x 1 2x 3x2 6x
6x 2x 丄时,
0,所以g x
J上递增6
;
7时,
0,所以g x在x
7
厂上递减;
又g 1 0,
g
X0
0, 0 X°
6
当0 x X。时，g
x 0,所以g x 在0 x X0上递减;
当x 1 时，g
x
0,所以x。 x 1上递增；
X。 当x 1 时，g x 0,所以g x在x 1上递减；
又当
x 时，g x
,
g x 1 xIn x x x x
— x<— 1< 2
0
，x)n1 3
< 0
，—
力In x x x > 0， 2
1
经检验是
上恒成时递增,
In x 一1
4
1,
24
当x 0时，lnx
1 0,则 g x 4
,0 .
0,且 g 1 0
b的取值范围为
g
一阶导数草图
原函数草图
6x
6x2
2x
In x
2x 3x2, g x
x I nx x2 x3
方法二、
构造:
In x x x2
2x2
2x2
2x
从而G x在0,1上为增函数;
2x
1,G
0,从而G x在1,
上为减函数
分析点评：第(3)问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。
1
例2：已知函数f (x) =
— + aln(x — 1)，其中n是正整数，a是常数，若a= 1
时,
(1 x)
求证：当 x > 2 时，f (x) < x — 1 .
1
证法一：当 a= 1 时，f (x) =
- + In(x — 1)，构造函数 F(x) = (x — 1) — f (x)，下证：当
(1 x) 1
x>2 时，F(x) = (x — 1) —
n —In(x — 1)>0 恒成立.
(1 x)
F(x) = 1 —
(1 x) x 1 x 1 1
①若n为偶数，?/ x>2,二J2 >0,
x 1
3
所以：当 x>2 时，F'(x) > O..?. F(x)min = F(2) = (2 — 1)— -— — ln(2 — 1) = 0,所以：当 x
(1_2)
1
> 2，且 n 为偶数时，F(x) = (x — 1) —
- — ln(x — 1) > 0 恒成立.
(1 x)n 1 1
②若n为奇数，要证 --------- + ln(x — 1)< x— 1 ,??? x>2,二 --------- <0,所以只需证:
(1 X)
ln(x — 1) < x— 1 (下略).
小结2：含有正整数“ n”的表达式的符号、数值判断， 方法.在数列中运用很多.
(1 X)
“对n分奇、偶讨论”是一种重要的
证法二：
1
???当x > 2时，
w 1,.?.只需要证明1 + ln(x 1) w x 1.构造函数F(x)=
(1 x)n
x 2
(x — 1) — [1 + ln(x — 1)]，即 F(x) = x — 2— ln(x — 1),贝U F'(x)= 小结3:证法一是直接作“差函数”
x 1
(下略).
(直接构造新函数)，然后分奇、偶讨论；证法二是先
适当放缩，然后构造新函数.解题时，要有敏锐的观察力.
(1)抓住问题的实质，化简函数
例1：已知f x是二次函数，不等式 f x 0的解集是 0,5，且f x在区间 1,4上 的最大值12.
(1 )求f x的解析式;
(2)是否存在自然数 m ,使得方程
37 x
0在区间 m,m 1内有且只有两个不等
的实数根？若存在，求出所有 m的值；若不存在，请说明理由。
(2)假设满足要求的实数 m存在，则
37 x
10x
2
0，即有:2x
2
10x
37 x
3
2
2x
3
3
10x x
2
2
37
0 ,即有：2x
3
37 0 构造函数h x
2x 10x 37
画图分析：
h x 6x 20x 6x(x y
2
10
x
4
5x解: (1) y 2x2 10x x R
高三数学复习-合理构造函数解导数问题以及构造函数法
