高三物理复习专题：动力学中的临界问题
在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法： 1．极限法：
在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。
[例1]如图1—1所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为?，对物体施加一个与水平方向成?角的力F，试求：
（1）物体在水平面上运动时力F的值；
（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。
解析：要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于最大静摩擦力（近似等于此时的滑动摩擦力），当力F有极小值时，物体恰好在水平面上做匀速直线运动，对物体的受力如图1—2所示，由图示得：
Fmincos???N ① Fminsin??N?mg ②
F ﹚θ 解得：Fmin??mgcos???sin? ③
图1—1
当力F有最大值时，物体将脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，根据受力分析得： N Fy F Fmaxcos??ma ④ Fmaxsin??mg ⑤ ﹚θ FX
解得：Fmax?mgsin? ⑥
G 图1—2
mgsin?∴物体在水平面上运动所获得的最大加速度： a?gctg? ⑦
则物体在水平面上运动时F的范围应满足：
?mgcos???sin?≤F≤
[例2]如图甲，质量为m=1Kg的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）
[解析]：现采用极限法把F推向两个极端来分析：当F较大时（足够大），物块将相对斜面上滑；当F较小时（趋
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于零），物块将沿斜面加速下滑；因此F不能太小，也不能太大，F的取值是一个范围
（1）设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F1，此时物块受力如图乙，取加速度a的方向为x轴正方向。 对m：x方向：NSinθ-μNCosθ=ma1 y方向：NCosθ+μNSinθ-mg=0 对整体：F1=（M+m）a1
2
把已知条件代入，解得：a1=4.78m/s，F1=14.34N
（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F2，此时物块受力如图丙， 对m：x方向：NSinθ+μNCosθ=ma2 y方向：NCosθ-μNSinθ-mg=0
对整体：F2=（M+m）a2
把已知条件代入，解得：a2=11.2m/s2，F2=33.6N 则力F的范围：14.34N≤F≤33.6N
[例3]如图2—1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60° ，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。 F A B 解析：当水平推力F很小时，A与B一起作匀加速运动，
﹚60° 当F较大时，B对A的弹力竖直向上的分力等于A的重力时，
图2—1 地面对A的支持力为零，此后，物体A将会相对B滑动。
显而易见，本题的临界条件就是水平力F为某一值时，恰好使A沿AB面向上滑动，即物
体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图2—2。
对整体：F?2Ma ① 隔离A：
NA?0 ②
F?Nsin60Ncos60ooN F ﹚60° G 图2—2
?Ma ③
?Mg?0 ④
联立上式解得：F?23Mg
∴ 水平力F的范围是：0＜F≤23Mg
[例4] 如图1所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m，木块的质量为M，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。
2
图1
解析：当木块加速度a=0时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。当木块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到A点时，小球将滚出圆弧槽，此状态为临界状态，小球受力如图2所示，由牛顿第二定律有的加速度至少为
时小球能滚出圆弧槽。
，得
，当木块向右
图2
点拨：当圆弧槽静止时，小球受到支持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增大时，支持力的作用点逐渐向A点靠近，当支持力的作用点在A处时，圆弧槽的加速度最大，圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。确定临界点，是求解此题的关键。
2．假设法：
有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。
[例5]一斜面放在水平地面上，倾角为?= 53°，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图3—1所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。
解析：根据题意，先分析物理情景：斜面由静 止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会 随着a的增大而减小，当a较小时（a→0），小球受
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2T
a ﹚θ ma
﹚θ 图3—1
G 图3—2
到三个力（重力、细绳拉力和斜面的支持力）作用，此时细绳平行于斜面；当a足够大时，斜面对小球的支持力将会减少到零，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于?角。而题中给出的斜面向右的加速度a?10m/s2，到底是属于上述两种情况的哪一种，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定，这是解决此类问题的关键所在。
设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图3—2所示。
易知：mgctg??ma0 ∴ a0?gctg??7.5m/s2 ∵ a?10m/s2＞a0
∴ 小球已离开斜面，斜面的支持力N = 0，
同理，由图3—2的受力分析可知（注意：此时细绳与斜面的夹角小于?）,细绳的拉力： T = (mg)2?(ma)2?22?2.83牛 方向沿着细绳向上。
[例6]一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a与斜面倾角θ的关系？
[解析]：设摩擦因数为μ，则a=gSinθ-μgCosθ 做如下几种假设：
0
（1） 当θ=0时，物体静止在水平面上，a=0 （2） 当θ=arctgμ时，物体开始匀速下滑，a=0
（3） 当θ>arctgμ时，物体加速下滑，a>0
（4） 当θ=900时，F=μmgCos900=0，加速度达到极限值，a=g即物体做自由落体运动。 综上假设，不难判断出“D”答案是合理的。
[例7] 如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为量为
，斜面与物块间的动摩擦因数为
的斜面体上，斜面质
，地面光滑，现对斜面体施一水平
）
推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。（
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图3
解析：：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。
（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向。
图4
对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有代入数值得
（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2 对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有
，
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动力学中的临界问题综合
