北师大版高中数学选修2-2课时跟踪检测(十三) 最大值、最小值问题

课时跟踪检测（十三） 最大值、最小值问题

一、基本能力达标

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)( ) A．等于0 C．小于0 答案：A

2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为( ) A．2 C．－2

解析：选B f′(x)＝3x2－2x－1， 1

令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，

3

又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1. π1

0，?上的值域为( ) 3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间??2?2

B．1 D．－1 B．大于0 D．以上都有可能

?11??

A.?，e2? ?22?

C．[1，e]

?2?11??B．?，e2?

?22?

D．(1，e)

?211

解析：选A f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，

22π

当0≤x≤时，f′(x)≥0，

2π

0，?上是增函数． ∴f(x)在??2?π?12∴f(x)的最大值为f??2?＝2e， 1f(x)的最小值为f(0)＝.

2

4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )

dA. 3C.3d 3

dB．

2D.2d 2

?解析：选C 设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2

33

－x2)，00，

33f(x)单调递增；当一个极大值点x＝

3

d

33

d.所以x＝d时，f(x)有最大值，故选C. 33

1－

5．设x0是函数f(x)＝(ex＋ex)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是

2________．

1－

解析：f′(x)＝(ex－ex)，令f′(x)＝0，∴x＝0，

2

可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1. 答案：y＝1

6．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.

解析：∵f′(x)＝3x2－3，

∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n. 又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)． ∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20. 答案：20

7．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)． (1)求导函数f′(x)；

(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k， ∴f′(x)＝3x2＋2kx－4. 1

(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.

2

1

∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.

24

由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

3

4?950

又f(－2)＝0，f(－1)＝，f?＝－，f(2)＝0，

2?3?27

950

∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.

227

8．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得 a＝2x，h＝

60－2x

＝2(30－x)，0＜x＜30. 2

(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值．

(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.

当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． h11此时a＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.

22二、综合能力提升

1．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 C．－15

B．－71 D．－22

解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.

2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A．2πr2

B．πr2