北师大版2021版高考数学（理）一轮复习
第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性
问题练习
[基础题组练]
→→2
1．已知直线l与双曲线－y＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则OM·ON的
4值为( )
A．3 B．4 C．5
D．与P的位置有关
2
2
x2
解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x0－4y0＝4，则直线l的方程是
x0x4
－
y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
x＝2???2?x＝2→→?①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由?x，得，此时OM·ON＝(2，－1)·(2，2
?y＝±1－y＝0???4
→→
1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.
1
y＝（xx－4）??4y1
②当y≠0时，直线l的方程是y＝(xx－4)．由?，得(4y－x)x＋8xx－16＝
4yx??4－y＝0
0
0
0
00
2
2
0
20
2
0
2
12
→→222
0(*)，又x0－4y0＝4，因此(*)即是－4x＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x213
－x1x2＝x1x2＝3. 44
→→
综上所述，OM·ON＝3，故选A.
1→→→2
2．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋
kAB1
kACkBC＋1
＝________．
y2－y1→→?p?由→
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F?，0?，FA＋FB＝－FC，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝
x2－x1?2?
＝
2p2p2p111y1＋y2y3＋y1y2＋y3
，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0. y1＋y2y1＋y3y2＋y3kABkACkBC2p2p2p答案：0
x2y2
3．(2020·平顶山模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上
ab滑动，若△MF1F2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得△MF1F2为直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
→→→→
(2)过点P(0，1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设QA＝λPA，QB＝μPB，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．
解：(1)由对称性知，点M在短轴端点时，
1
△MF1F2为直角三角形且∠F1MF2＝90°，且S△MF1F2＝4，所以b＝c且S＝·2c·b＝bc＝4，
2解得b＝c＝2，a＝b＋c＝8， 所以椭圆C的方程为＋＝1.
84
2
2
2
x2y2
xy??＋＝1，
(2)证明：显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝t(y－1)，联立?84
??x＝t（y－1），
消去x，得(t＋2)y－2ty＋t－8＝0.
2tt－8
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，y1y2＝2. t＋2t＋2令y＝0，则x＝－t，所以Q(－t，0)， →→
因为QA＝λPA，所以y1＝λ(y1－1)， 所以λ＝
2
2
2
2
2
2
22
y1
y1－1
.
y2→→
因为QB＝μPB，所以y2＝μ(y2－1)，所以μ＝. y2－1
所以λ＋μ＝y22y1y2－（y1＋y2）8＋＝＝. y1－1y2－1y1y2－（y1＋y2）＋13
y1
x2y2
4．(2020·甘肃白银联考)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，Oab为坐标原点，点O到直线AF2的距离为(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意可知，直线AF2的方程为＋即－bx＋cy＋bc＝0，则2
，△AF1F2为等腰直角三角形． 2
xy＝1， c－bbcbc2
＝＝.
2b2＋c2a
因为△AF1F2为等腰直角三角形，所以b＝c， 又a＝b＋c，可得a＝2，b＝1，c＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.
2(2)证明：由(1)知A(0，－1)．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋t(t≠±1)， 代入＋y＝1，得(1＋2k)x＋4ktx＋2t－2＝0，
2所以Δ＝16kt－4(1＋2k)(2t－2)＞0，即t－2k＜1. 4kt设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，
1＋2k2t－2x1x2＝2. 1＋2k因为直线AM与直线AN的斜率之和为2， 所以kAM＋kAN＝＝2，
整理得t＝1－k.
所以直线l的方程为y＝kx＋t＝kx＋1－k＝k(x－1)＋1，显然直线y＝k(x－1)＋1经过定点(1，1)． 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝m.
因为直线AM与直线AN的斜率之和为2，设M(m，n)，则N(m，－n)， 所以kAM＋kAN＝
2
22
2
2
2
2
2
2
2
x2
2
x2
2222
y1＋1y2＋1kx1＋t＋1kx2＋t＋1（t＋1）（x1＋x2）（t＋1）·4kt＋＝＋＝2k＋＝2k－2x1x2x1x2x1x22t－2
n＋1－n＋12＋＝＝2，解得m＝1， mmm此时直线l的方程为x＝1，显然直线x＝1也经过该定点(1，1)． 综上，直线l恒过点(1，1)．
[综合题组练]
1．(2020·湖南五市十校联考)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E分别相交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)法一：由题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离与其到定直线x＝－1的距离相等，又由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2.
所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y＝4x.
法二：设动圆圆心C(x，y)，由题意知（x－1）＋y＝|x＋1|， 化简得y＝4x，即动圆圆心C的轨迹E的方程为y＝4x. (2)假设存在点N(x0，0)，满足题设条件．
2
22
2
2
北师大版2021版高考数学(理)一轮第九章第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性问题练习含答案
