同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

第四篇 无穷级数

第七章 无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节 常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

则由这数列构成的表达式

叫做（常数项）无穷级数? 简称（常数项）级数? 记为

? 即

?

其中第项

作级数

叫做级数的一般项? 的前项和

称为级数

的部分和? 当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列

，

，

，…

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 如果级数叫做这级数的和? 并写成

?

如果当级数

没有极限? 则称无穷级数

收敛时? 其部分和

发散?

的和的近似值? 它们之间的差值

叫做级数

的余项?

(a?0)的敛散性?

的部分和数列

有极限? 即

? 则称无穷级数

收敛? 这时极限

，…，

是级数

例1 讨论等比级数（几何级数）解 如果

? 则部分和

?

当

时? 因为

? 所以此时级数

收敛? 其和为

?

当 如果

当

时? 因为? 则当时? 级数

时?

? 所以此时级数发散?

发散?

? 因此级数

成为

?

的极限不存在? 从而这时级数

因为随着为奇数或偶数而等于或零? 所以

发散?

综上所述? 如果

例2 判别无穷级数解 由于

?

因此

,

而

，故该级数发散.

例3 判别无穷级数解 因为

,

所以

从而

?

所以这级数收敛? 它的和是1?

1.2 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质. 性质1如果级数 证明 设

与

收敛于和? 则它的各项同乘以一个常数所得的级数的部分和分别为

与

? 则

,

这表明级数

收敛? 且和为

、、

?

分别收敛于和、

? 则级数

、

、

也收敛? 且其和为， 则

?

也收敛? 且其和为

?

?

的收敛性?

? 则级数

收敛? 其和为的收敛性?

? 如果

? 则级数

发散?

性质2 如果级数

证明 如果

、

的部分和分别为

?

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项? 不会改变级数的收敛性? 比如? 级数 级数 级数 性质4 如果级数

也是收敛的?

收敛? 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛? 且其和不变?

是收敛的;

也是收敛的;

应注意的问题? 如果加括号后所成的级数收敛? 则不能断定去括号后原来的级数也收敛? 例如? 级数（1?1)+（1?1) +? ? ?收敛于零? 但级数1?1?1?1?? ? ?却是发散的?

推论 如果加括号后所成的级数发散? 则原来级数也发散? 性质5 如果

证明 设级数

收敛? 则它的一般项的部分和为

? 且

趋于零? 即

? 则

?

注? 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件?

例6 证明调和级数

是发散的? 证明 假若级数显然有

及

收敛且其和为?

? 于是

是它的部分和?

?

?

但另一方面?

?

故

? 矛盾? 这矛盾说明级数

必定发散?

习题7-1

1. 写出下列级数的前四项: （1）

； （2）

.

2. 写出下列级数的一般项（通项）: （1） （3）

； （2）.

；

3. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性: （1）

; （2）

.

4. 判断下列级数的敛散性:

（1） （3）

; （2） （4）

;

.

第2节 常数项级数的收敛法则

2.1 正项级数及其收敛法则

现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数. 设级数

（7-2-1） 是一个正项级数，它的部分和为 如果数列必收敛于和，且质可知，数列

有界，即

.显然，数列

是一个单调增加数列，即：

总不大于某一常数

，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）

. 反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和.根据有极限的数列是有界数列的性

有界. 因此，有如下重要结论：

收敛的充分必要条件是它的部分和数列{

和

都是正项级数? 且

发散? 的部分和

即部分和数列

反之? 设级数

有界? 由定理1知级数

发散? 则级数

收敛?

必发散? 因为若级数

收敛? 由上已证明的结论? 将有级数}有界?

? 若级数

收敛? 则级

定理 1 正项级数

定理2 (比较审敛法) 设数

收敛? 反之? 若级数证明 设级数

收敛于和

发散? 则级数? 则级数

也收敛? 与假设矛盾? 推论 设

和

都是正项级数? 如果级数

收敛? 如果级数

收敛? 且存在自然数N? 使当发散? 且当

时有

时有成立? 则级

成立? 则级数

数

发散? 例1 讨论p?级数

的收敛性? 其中常数 解 设 设

? 这时? 此时有

?

对于级数

? 其部分和

?

因为可知? 级数

当

时收敛? 当

时收敛? 当是发散的?

? 而级数

是发散的? 根据比较审

时发散?

? 所以级数

收敛? 从而根据比较审敛法的推论1

?

? 而调和级数

发散? 由比较审敛法知? 当

时级数

发散?

综上所述? p?级数例2 证明级数证明 因为

敛法可知所给级数也是发散的?

定理3 （比较审敛法的极限形式) 设时发散?

证明 由极限的定义可知? 对

? 存在自然数N? 当

时? 有不等式 ?

即

. 和

都是正项级数? 如果

? 则级数

和级数

同时收敛或同

再根据比较审敛法的推论1? 即得所要证的结论?

例3 判别级数

的收敛性?

解 因为? 而级数发散? 根据比较审敛法的极限形式? 级数发散?

用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数级数的是等比级数和p?级数.

定理4 (比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 若正项级数

作为比较的基准.最常选用做基准

的后项与前项之比值的极限等于?

，即

则当时级数收敛?当 (或)时级数发散? 当时级数可能收敛也可能发散?