2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题06用导数证明不等式问题
考点命题分析
函数综合题多出现在高考压轴题位置，具有考查数学思想方法以及代数推理能力的功能，用导数证明不等式问题是常见的考查形式.
本专题设计意图，一是复习用导数证明不等式的基本方法，也就是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值等问题；二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对常见不等式进行变换，用以解决难度更大的不等式证明问题.
1导数证明不等式的常用方法
1.1不等号左右两边结构相同的不等式，可以构造函数f(x)，使原不等式化为形如f(a)>f(b)的形式 例1已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤－2)证明:对任意x1，x2∈(0，+∞)，思路探求:不妨设等价于
，由于a≤－2，故f(x)在区间(0，+∞)内单调递减，所以
，即
.
.
设g(x)=f(x)+4x，则上式即为g(x2)≥g(x1)，问题转化为证明函数g(x)单调性的问题.
1.2形如f(x)>g(x)的不等式，可以构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为研究函数F(x)>0的问题 例2已知
(1)讨论f(x)的单调性； (2)当a=1时，证明
对于任意的x∈[1，2]成立.
.
思路探求:本问题是典型的构造函数证明不等式问题，证明方法是确定的，难点是如何研究新构造函数的性质.
解:当a=1时，令g(x)=x－lnx，h(x)=则由
.
可得g(x)≥g(1)=1，当且仅当x=1时取等号.
.
，x∈[1，2]，
1
又所以存在
，设=－3x2－2x+6，则在区间[1，2]上单调递减，因为；当x∈(x0，2)时，
.
，
，使得当x∈(1，x0)时，
所以函数h(x)在区间(1，x0)内单调递增；在区间(x0，2)内单调递减. 由于h(1)=1，即
，因此
，当且仅当x=2时取等号，所以
，
对于任意的x∈[1，2]成立.
根据待证不等式的目标指向，按形式特征把新构造的函数分为两个函数g(x)与h(x)分别研究，这是突破难点的技巧方法，也是能力考查与高考创新的体现. 1.3形如
的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数
，.
，于是
，
.
(或
).
(
为
例3已知函数f(x)=lnx，设f(x)的导函数)，证明:思路探求:
是函数y=f(x)的图像上两点，
以下证明①式等价于令则当同理可证
时，
.
①
.
，
，在区间(0，x2)内，
，即
，所以r(x)在区间(0，x2)内为增函数.
，从而
得证.
上面解析中，我们把中的x1看作主元构造函数r(x)，从而证明.对于多
参变量函数，主元思想与整体代换是常用的解题策略. 2导数证明不等式的常用技巧 2.1不等式的发现与运用
很多函数问题中，蕴含了一些常见的不等关系，需要我们去发现、提炼，并将其用于难度较大的不等式证明问题中. (1)(2)
(当且仅当x=1时取等号)；
.
很多高考试题中的导数证明不等式问题，都有这类常见不等式的背景.
2
例4已知函数
(Ⅰ)证明:当x>0时，f(x) (Ⅱ)证明:当k<1时，存在x0>0，使得对任意 . ，恒有f(x)>g(x)； (Ⅲ)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有f(x)－g(x)| 把不等式(2)进行变形，可得x－ln(x+1) 2.2不等式的变换与运用 例5已知函数f(x)=x－1－alnx. (I)若f(x)≥0，求a的值； (Ⅱ)设m为整数，且对于任意正整数n， ，求m的最小值. . . ，因此第(I)问是显而易见的. 思路探求:在第(I)问求出a=1之后，立刻发现，第(I)问揭示了一个不等关系，也就是上面发现的不等式(1)lnx≤x－1. 而第(Ⅱ)问不等式的结构形式，让我们想到先把不等式(1)变换为ln(x+1)≤x，再对x进行赋值. 令 ，得 ，从而 ， 故 所以m的最小值是3. 通过对lnx≤x－1进行变换，还可以发现很多不等式，例如: 等式都起到了化超越为平凡的作用，而导数不等式的证明，经常需要这种转化. 2.3不等式的构造与运用 有些导数证明不等式的问题，需要我们先根据问题的条件特征与解题需要，通过探究，发现、构造新的不 3 ，而. 等.这些不
专题06用导数证明不等式问题(解析版)
