【高中数学】数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点
一、选择题
1．在?ABC中，设?BAC??，CA与CB所成的角是?，绕直线AC将AB旋转至
AB?，则在所有旋转过程中，关于AB?与BC所成的角?的说法正确的是( )
??A．当????时，??????,???? B．当?????时，??????,????
44??C．当????时，??????,???? D．当????时，???????,????? 44【答案】D 【解析】 【分析】
?????首先理解异面直线所成的角的范围是?0,?，排除选项A,B,C,对于D可根据
?2?AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB?是母线，再将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，判断最大值和最小值. 【详解】
因为?是异面直线所成的角，所以???0,A.当????????2??
?4时，???的范围有可能超过
?3??,??，所以不正确； ，比如，??462B.当?????C.当????D. ?????4时，当??3??,??，此时??????,????，也不正确； 46?4，当??3??,??，此时??????,????，故也不正确； 46?4时，AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB?是母线，如图，
过点A作BC的平行线AD，且?CAD??，AB'与BC所成的角?转化为AB?与AD所成的角，由图象可知，当AB?是AB时，角最大，为???，当AB?在平面ABC内时，不与AB重合时，角最小，此时为???
故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥.
2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A．8(6?62?3) B．6(8?82?3) C．8(6?63?2) D．6(8?83?2) 【答案】A 【解析】 【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2?22的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为
11??S?6??(2?22)2?4??2?2??8??2?3?8(6?62?3).
22??故选：A. 【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．
34 17B．
234 17C．
517 17D．
317 17【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在?PCD中利用余弦定理求出cos?DPC进而求出CE，再在?GFH中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则EF//CH，EF?CH，从而四边形EFHC是平行四边形，则EC//FH， 且EC?FH.
因为F是PA的中点，G是AB的中点，
所以FG为?ABP的中位线，所以FG//PB，则?GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得FG?3，HG?1AC?22. 2PD2?PC2?CD236?36?167在?PCD中，由余弦定理可得cos?DPC???，
2PD?PC2?6?69则CE2?PC2?PE2?2PC?PEcos?DPC?17，即CE?17.
FG2?FH2?GH29?17?8317. 在?GFH中，由余弦定理可得cos?GFH???2FG?FH172?3?17故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
4．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面．．
A1B1C1D1上，且AP?平面MBD1.线段AP长度的取值范围为( )
A．?1,2?
??【答案】D 【解析】 【分析】
?B．??1,3?
?3?,2? C．?2???6?,2? D．?2??以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，设P?x,y,1?，M?0,1,t?，由AP??x?t+1MBD平面，然后用空间两点间的距离公式求解即可. 1，可得?y?1?t?【详解】
以DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，
则A?1,0,0?,B?1,1,0?,M?0,1,t?,D1?0,0,1?，P?x,y,1?.
uuuruuuuruuuurAP??x?1,y,1?,BD1???1,?1,1?,BM???1,0,t?，t??0,1?
uuuuruuuruuuuruuur由AP?平面MBD1，则BM?AP?0且BD1?AP?0
所以1?x?t?0且1?x?y?1?0得x?t+1，y?1?t.
uuur所以AP??1?3x?1?y?1?2???t???
?2?2222uuuruuur16?2， 当t?时，AP，当t?0或t?1时，AP?maxmin22r6uuu所以?AP?2 2故选：D
【点睛】
本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.
5．如图，棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是（ ）
A．
1 2B．
2 4C．
2 2D．
3 2【答案】B 【解析】 【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明A1D?平面ABC1D1，故平面ABC1D1的一个法向量
uuuur为：DA1，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
高考数学压轴专题南通备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题
