直角三角形“HL”全等判定定理
教学目标:
（1）澄清“SSA”不一定判断全等的原因，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。
（2）能够运用“HL”定理解决与直角三角形有关的问题，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力，培养学生思维的灵活性与开放性。
教学重点和难点
重点：直角三角形“HL”全等判定定理。
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难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析。
教法及学法指导：
为体现学生在教学中的主体地位，促进学生知识、技能和数学素养的提高，确立本节应用探究式教学法。引导学生思考问题，对设计的问题进行观察思考、小组讨论、主动探究，最后自己得出结论，亲身经历解决问题的全过程.
课前准备：
制作多媒体课件、圆规、三角尺。
教学过程:
一、复习回顾，引入新课师：提出问题：
1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
生：回答1、
公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
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如图：
A ⑴
C A/ ⑵
C/
A/ ⑶
C/ B B/
B/
由图⑴和图⑵可知，这两个三角形全等； 由图⑴和图⑶可知，这两个三角形不全等；
因此，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
如果其中一边所对的角是直角有的学生回答全等，有的学生回答不全等。由此引入新课
设计意图：通过复习全等三角形的判定方法，对“边边角”判定三角形全等进行“批判”的基础上自然引出“HL”定理，旨在为进一步证明“HL”定理做准备，同时也培养了学生类比联想的思考方法。
二、动手操作，合作探究
[来源:学科网]师：“做一做”已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
生：在老师的引导下各自动手在练习本上画。 师：同位同学把各自的三角形剪下，再比全等不全等？ 生：都回答全等。 于是得到
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定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
分析：执果索因，要证明△ABC≌△ABC，只要能满足公理SSS、SAS、ASA和推论AAS中的一个即可．由已知和根据勾股定理易知，第三条边也对应相等。
证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
///
AA'BCB'C'AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
师：这一定理可以简述为：“斜边、直角边”或“HL”. 练习：
判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． 对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明．
设计意图:通过对命题的推理证明，加深对证明必要性的认识，体会数学的严谨性，并借此进一步规范学生的书写和表达。分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是归纳得出直角三角形全等的判定定理。
三、例题讲解，应用示范
例 如图1-16，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF,AC=DF,
∴ Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）
∴ ∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等） ∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余） ∴ ∠B+∠F=90° 练一练
用三角尺可以作角平分线：如图，在已知∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，使OM＝ON；再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂
O N M A P
B
线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线。
请你证明OP平分∠AOB 把它转化为一个纯数学问题：
已知：如图，OM＝ON，PM⊥OA，PN⊥OB． 求证：∠AOP＝∠BOP 生：证明。
设计意图：这是一个具体的实际问题，让学生利用“HL”定理来解决，目的是为了让学生体会数学结论在实际中的应用，用数学的眼光看待实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
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四、课堂小结，盘点收获
【展示课件】（直角三角形的性质） 定理1：直角三角形的两个锐角互余。
定理2：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
定理3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°。
定理4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【展示课件】（直角三角形全等的判定定理）
●定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 ◆公理：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。
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◆公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 ◆公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
◆推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 综上所述，直角三角形全等的判定条件可归纳为： ◆一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等。 ◆两边对应相等的两个直角三角形全等。
※切记!!!命题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.即（SSA）是一个假冒产品!
第五环节：测试评价 习题1.5第1、2题。
板书设计：
§1.2.2直角三角形(2) 合作探究[来源:Z*xx*k.Com] 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 练 巩固训例3、 命题：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 证明： [来源:学科网ZXXK]例1、 例2、 证明： 课后反思：
本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，我设计了几个不同的情景，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。这一设计，极大的激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的力度，课堂效益比较明显。纵观整个教学，不足主要体现在提出的一些问题，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会。
总之，我们在教学中一定要考虑我们的对象，要为他们服务，为他们设想，这样才能够获得最佳教学效果。
数学北师大版八年级下册直角三角形“HL”全等判定定理
