高中数学第三章函数的应用章末复习课新人教版必修1
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1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线．(2)f(a)·f(b)<0，否
则极易出错．
2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意
精确度的要求．
3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图
来选择模拟函数，可避免盲目性，是较好的方法．
专题一 函数的零点与方程的根
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以
解决函数、方程与不等式的问题．
[例1] (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)
＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
B．{－ 3，－1，1，3}
D．{－2－， 1，3}
A．{1，3}
C．{2－，1，3}
(2)函数f(x)＝的零点个数是______．
解析：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝
x2－3x，所以f(x)所以g(x)＝由解得x＝1或x＝3；
由解得x＝－2－.
所以函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－，1，3}．故
选D.
(2)令x2－2＝0，得x＝±，只有x＝－符合题意；令2x－6＋ln x＝0，得6－2x＝ln x，在同一坐标系中作出函数y＝6－2x和y＝ln x的图象如图，观察知，图象有1个交点．所以函数f(x)有2个零点．
答案：(1)D (2)2
归纳升华
确定函数零点的个数有两个基本方法：(1)利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．(2)利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重
根容易漏掉．
[变式训练] (1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含
f(x)零点的区间是( )
B．(1， 2)
A．(0，1)
C．(2，4)
D．(4，＋∞)
(2)设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则
方程f(x)＝0在[－1，1]内( )
B．可能有2个实根
D．没有实根
A．可能有3个实根
C．有唯一实根
解析：(1)因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f(2)＝3－1>0，f(4)＝－2<0，所以，函数f(x)的零点在区间(2，4)
内．
(2)由于f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，所以f(x)在上有唯一零点，即方程f(x)＝0在[－1，1]内有唯一
实根．
答案：(1)C (2)C 专题二 函数零点的应用
函数零点的应用主要表现在：(1)利用函数零点求参数的值；
(2)利用函数零点求参数的范围．
[例2] (2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，
则实数b的取值范围是__________．
解析：若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得方程|2x－2|＝b有两个根，从而函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图象有两个交点，
结合图象可得0 答案：0 已知函数的零点确定参数范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系，对于二次函数的零点问题，要充分利用图象，结合零点的条件从开口方向、对称轴位置、区间端点值 的符号及判别式这几个方向去考虑． [变式训练] (1)若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实 数a的取值范围是______________． (2)已知函数f(x)＝2mx＋5－3m在(－1，2)内存在零点x0，求实 数m的取值范围． (1)解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1是一次函数，有一个零点； 当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，得a＝－. 综上知a＝0或a＝－. 答案：?a|a＝0或a＝－4????1?(2)解：m＝0时，f(x)＝5，不合题意；当m≠0时，函数f(x)的
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