选修2-2 1.3.3
一、选择题
1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( )
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm [答案] B
[解析] 设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)·x＝4x－192x＋48x.
其中0 在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B. 2．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，132 原油温度(单位：℃)为f(x)＝x－x＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小 3值是( ) A．8 B.20 3 2 2 2 2 2 3 2 2 C．－1 D．－8 [答案] C [解析] ∵f′(x)＝x－2x(0≤x≤5)， ∴原油温度的瞬时变化率为：x－2x，其最小值为－1. 3．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为( ) A.23 R 3 2 2 1 B. 3R 333 R 23R 2 C.D. [答案] A [解析] 作轴截面如图，设圆柱高为2h， 则底面半径为R－h，圆柱体体积为V＝π·(R－h)·2h＝2πRh－2πh. 令V′＝0得2πR－6πh＝0， ∴h＝3R. 3 2 2 2 2 2 2 2 3 23 即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．故选A. 3 4．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A．32m B．14m C．16m D．18m [答案] C [解析] 设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)， 令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝4＝16.故选C. 5．(2010·山东卷文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万13 件)的函数关系式为y＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 3( ) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案] C 2 2 2222 [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题． 6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，1??400x－x20≤x≤4002已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝? ??80000x>400每年生产的产品是( ) A．100 B．200 C．250 D．300 [答案] D [解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝ 1??300x－x2－20000 0≤x≤400 2? ??60000－100x x>400 ??300－x P′＝? ?－100 ? 2 ，则总利润最大时， . . 0≤x≤400 x>400 令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D. 7．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A．2πr B．πr C．4πr 12 D.πr 2[答案] A [解析] 如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ. 222 ∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πrsinθcosθ， 2 3
【成才之路】2013版高中数学 1-3-3同步练习 新人教B版选修2-2
