第一节
函数及其表示
[知识能否忆起]
1．函数的概念 (1)函数的定义：
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( ) A．－2x＋1 C．2x－3
B．2x－1 D．2x＋7
解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
1
x＋1，x≤1，??
2．(2012·江西高考)设函数f(x)＝?2
，x>1，??x1
A. 52
C. 3
B．3 13D. 9
2
则f(f(3))＝( )
213?2?2
解析：选D f(3)＝，f(f(3))＝??＋1＝. 39?3?
3．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是( )
1
A．f：x→y＝x
81
C．f：x→y＝x
2
1
B．f：x→y＝x
4D．f：x→y＝x
解析：选D 按照对应关系f：x→y＝x，对A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素与之对应．
?1?2
4．已知f??＝x＋5x，则f(x)＝____________.
?x?
1115
解析：令t＝，则x＝.所以f(t)＝2＋.
xttt5x＋1
故f(x)＝2(x≠0)．
x5x＋1
答案：2(x≠0)
x5．(教材习题改编)若f(x)＝x＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.
??1＋b＋c＝0，
解析：由已知得?
?9＋3b＋c＝0，?
2
??b＝－4，
得?
?c＝3.?
即f(x)＝x－4x＋3.
所以f(－1)＝(－1)－4×(－1)＋3＝8. 答案：8
1.函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．
(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
2
2
2
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数
如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
3．求分段函数应注意的问题
在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
函数的基本概念
典题导入
[例1] 有以下判断：
??1，x≥0，|x|
(1)f(x)＝与g(x)＝?
x?－1，x<0?
表示同一函数；
(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；
2
2
??1??(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f?f???＝0.
??2??
其中正确判断的序号是________．
|x|
[自主解答] 对于(1)，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，而函数g(x)
x??1，x≥0，＝???－1，x<0
的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)
定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和
g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f??＝?－1?－??＝0，所以f?f???＝f(0)＝1.
2222
综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)
由题悟法
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函
3
?1??1?????1??????1??????
数的定义域和对应关系完全
相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．
以题试法
1．试判断以下各组函数是否表示同一函数． (1)y＝1，y＝x；
(2)y＝x－2·x＋2，y＝x－4； 33
(3)y＝x，y＝ t； (4)y＝|x|，y＝(x).
解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．
(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．
33
(3)y＝x，y＝t＝t，它们的定义域和对应关系都相同， 故它们是同一函数．
(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．
2
2
0
2
2
0
4
求函数的解析式
典题导入
?1?21
[例2] (1)已知f?x＋?＝x＋2，求f(x)的解析式；
?
x?
x?2?(2)已知f?＋1?＝lg x，求f(x)的解析式； x?
?
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
?1?21?1?2
[自主解答] (1)由于f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，
?
x?
x?x?
所以f(x)＝x－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x－2(x≥2或x≤－2)． 222(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，
xt－1t－1又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg
2
2
2
2
(x>1)． x－1
(3)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)＋b(x＋1)＝ax＋bx＋x＋1， 即ax＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax＋(b＋1)x＋1，
?2a＋b＝b＋1，?所以?
??a＋b＝1，
2
2
2
2
2
1解得a＝b＝.
2
121
所以f(x)＝x＋x(x∈R)．
22
由题悟法
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以
x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；
5
[三维设计]2014届高考数学一轮复习（基础知识+高频考点+解题训练）函数及其表示教学案
