九年级数学上册 几何模型压轴题单元测试题（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝
1AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，3连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长． 4
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】 【分析】
67 7（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC； （2）成立，理由如下， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴△PBC是等边三角形， ∴
3293PC＝，
44∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t， ∴AC＝2t， ∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°， ∴AD＝
1AC＝t，CD＝3AD＝3t， 2∵PD2+CD2＝PC2， ∴（2t）2+3t2＝9， ∴t＝
37（负值舍去）， 767． 7∴AC＝2t＝【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得
解．
2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y?ax?bx?c的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转90?后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与
?OAB的边分别交于M，N两点，将?AMN以直线MN为对称轴翻折，得到?A?MN． 设点P的纵坐标为m．
①当?A?MN在?OAB内部时，求m的取值范围；
5②是否存在点P，使S?A?MN?S?OAB,若存在，求出满足m的值；若不存在，请说明理
6由．
42【答案】?1?y??x?2x?2；（2）①?m?3；②存在，满足m的值为6?19或
3'6?39． 3【解析】 【分析】
（1）作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，然后证明△AOD≌△BOE，则AD=BE，OD=OE，即可得到点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）①由点P为线段AC上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P与点A重合时；点P与点C重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M在线段OA上，点N在AB上时；当点M在线段OB上，点N在AB上时；先求出直线OA和直线AB的解析式，然后利用m的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m的值． 【详解】
解：（1）如图：作AD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，
九年级数学上册 几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
