2010全国高考数学1卷试题（理科）解析+word版

绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?3?R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k(k?0,1,2,…n)

一．选择题 (1)复数

3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i

1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

3?2i(3?2i)(2?3i)6?9i?4i?6???i. 2?3i(2?3i)(2?3i)13(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

1?k21?k2A. B. - C.

kkk1?k2D. -k1?k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.

第 1 页 共 9 页

?2?2?2?【解析】sin80?1?cos80?1?cos(?80)?1?k,所以tan100???tan80

sin80?1?k2????. ?cos80k?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为

?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时，z最大，且最大值为

zmax?1?2?(?1)?3.

x?y?0

y A y?x l0:x?2y?01 O A 2 x x?y?2?0 ?2 （4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则aaa456= (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

3?5， 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?(a1a3)?a2?a2a7a8a9?(a7a9)?a8?a?10,所以a2a8?50, 3813所以a4a5a6?(a4a6)?a5?a?(a2a8)?(50)?52 (5)(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

5.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是

第 2 页 共 9 页

353163展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】(1?2x)(1?3x)?(1?6x?12x?8xx)(1?3x)355 x

的

项

为

故(1?2x)3(1?3x)5的展开式中含

301?C5(?3x)3?12xC5??10x?12x??2x,所以x的系数为-2.

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

【解析】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C3C4121种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32C4种不同的121C4+C32C4?18?12?30种. 选法.所以不同的选法共有C3(7)正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A

2362 B C D 33337.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面

D1 A1

D A

O C B B1

C1

ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相

第 3 页 共 9 页

等,设DO⊥平面

ACD1，由等体积法得VD?ACD?VD?ACD,即

1111S?ACD1?DO?S?ACD?DD1.设DD1=a, 33则S?ACD1?1133211AC?AD1sin60???(2a)2??a,S?ACD?AD?CD?a2. 222222S?ACD?DDa331??a,记DD1与平面ACD1所成角为?,则所以DO?2S?AC1D33asin??DO36?,所以cos??. DD133?12（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a

8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=log32=

1211, b=In2=,而log23?log2e?1,所以a

036 (B) (C) 223 (D) 6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a2a2|PF1|?e[x0?(?)]?a?ex0?1?2x0，|PF2|?e[x0?)]?ex0?a?2x0?1.由余

cc弦定理得

|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2(1?2x0)2?(2x0?1)2?(22)20cos∠F1PF2=,即cos60?,

2|PF1||PF2|2(1?2x0)(2x0?1)解得x0?265322,所以y0?x0?1?，故P到x轴的距离为|y0|?

222第 4 页 共 9 页

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b?a?A,这也是命题者的用苦良心之处.

【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或b?又0f(1)=1+

2?22,从而错选a12，所以a+2b=a? aa2,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1)上a2=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 1????????（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的

最小值为

(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x(x?0),∠APO=?,则∠APB=2?，PO=1?x，sin??2A 11?x2，

O P ????????????????x2(x2?1)x4?x222PA?PB?|PA|?|PB|cos2?=x(1?2sin?)==2x2?1x?1????????x4?x2422，令PA?PB?y，则y?2，即x?(1?y)x?y?0，由x是实数，所以

x?1B ??[?(1?y)]2?4?1?(?y)?0，y2?6y?1?0，解得y??3?22或y??3?22.????????故(PA?PB)min??3?22.此时x?2?1. （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

234383 (B) (C) 23 (D) 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

第 5 页 共 9 页