第3课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法
学习目标:1.了解放缩法、反证法、几何法的概念;理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤.(重点)2.会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式.(难点)
教材整理1 放缩法与几何法 阅读教材P18~P20,完成下列问题. 1.放缩法
证明命题时,有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩法.
2.几何法
通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行. (2)整式的放缩可以通过加减项来进行. (3)从<
( ) ( ) ( )
aa+m来看,这是通过扩大分子达到了放大的目的. bb[解析] 根据放缩法的定义知(1)(2)正确,而(3)中,因m的符号不定,所以不一定达到放大的目的,故错误.
[答案] (1)√ (2)√ (3)× 教材整理2 反证法
阅读教材P20~P21,完成下列问题.
通过证明命题结论的否定不能成立,来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法.其证明的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法与同一法实质上是一致的.
(2)证明“至少”“至多”“否定性命题”时宜用反证法.
( ) ( )
(3)证明结论“a,b,c至少一个为负数”时,提出假设可以是“a,b,c至多有两个为负数”.
[解析] (1)× 从原理上分析,两种方法截然不同. (2)√ 反证法适合于证明这种类型.
(3)× 假设应为“a,b,c没有一个为负数”.
- 1 -
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
利用反证法证明否定性结论 1【例1】 已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.
4[精彩点拨] 当直接证明命题较困难时,可根据“正难则反”,利用反证法加以证明.凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时,常可考虑反证法.
1
[自主解答] 假设三式同时大于,
4111
即b-ab>,c-bc>,a-ac>,
444
1
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.